代数学基础第0章.pptVIP

代数学基础 教材 1. 《抽象代数》,盛德成，科学出版社; 2. 《Algebra》, I.M.Isaacs，机械工业出版社； 3. 《Algebra》, L.E.Grove, Academic Press; 4. 《代数学》,游宏，刘文德编著，科学出版社。 第0章 预备知识 §1 偏序集与Zorn引理 §2 整数的基本性质 §3 基数 §1 偏序集与Zorn引理 集合S上的二元关系 关于集合S,记 S×S的任一个子集叫做S上的二元关系 有两类重要的二元关系：等价关系、偏序关系 给定二元关系 ， 是等价关系， 是传递的，如果 是对称的，如果 是反对称的，如果 称 当且仅当 是自反的，对称的，传递的。 是自反的，如果 集合S上一个自反，反对称，传递的二元关系 叫做偏序关系。通常用 带有一个偏序关系的集合叫做一个偏序集。 2. 偏序关系 例1 S为集合， (Z, |) 不是一个偏序集， 是一个偏序集； 表示。 是一个偏序集； 例2 | 是整除关系。 例3 是通常的大小关系。 偏序关系可以向其子集上加以限制，得到一个 新的偏序集。 叫做一个链或线性序集，如果关于 a叫做b的覆盖，如果ba, 且不存在u,使 bua 偏序集 S中任意元素a,b，有 bua. 定 义 是一个偏序集， （1）X中元素a叫做X的极小（大）元， 如果 不存在X中的元素x (y)，使xa. (ay) （2）X中的元素a叫做X的最小元， 如果 a叫做X的最大元，如果 （3）S中的元素b叫做X的上界， 如果 b叫做X的下界， 如果 一个偏序集可以无极大元，如 Zorn 引理 如果偏序集 线性有序子集在S中都有上界，则S有极大元。 中每一个 下面的定理给出了偏序集有极大元的充分条件. §2 整数的基本性质 良序原理 非负整数集N的每一个非空子集 必有最小数。 定理 关于任意整数a,b,b不是0，则有唯一 1. 带余除法 的整数 q,r 使得 a=bq+r 其中 证明 令 则 （2）记r为M 的最小数，则r非负。且 否则 矛盾 唯一性 显然。 2 整除、因数、最大公因数 用(a,b)表示a,b大于0的最大公因数。 定理 关于任意整数a,b,b不是0，则有 使得 证明 (i)令 则 记D中最小数为d. (ii) 用d去除a 否则，r属于D,与r小于d矛盾。 这样 同理可证 易知,a,b的任一个公因数必整除d. 从而d=(a,b). 3 素数 定理（整数惟一分解定理） 每个大于1的正整数 a 都可惟一地写成 其中 称正整数 p(p1) 为素数， 如果除1,p外，p无 其它的正因数。 为素数。 唯一性指的是不计因数次序，表法惟一。 §3 基数 定义 每个称对等的集合具有相同的基数。 集合A的基数记为 1.集合的对等 若存在集合S到T的双射，就称S与T对等。 规定：有限集的基数就是它所含元素的个数； 与自然数集对等的集合叫可数无限集，不与 自然数集对等的集合叫做不可数无限集。 对于任何基数a,b,有集合A,B使得 定理 如果存在A的真子集与B对等，则称 一个集合是无限的，当且仅当它与它的真子集 对等。 定理（Bernstein 定理） 则 关于基数 a,b, 若 定理（Cantor定理）关于任何集合 A, 有 下面的定理说明基数无最大者。 证明 先做A到P(A)的一个单射 则 令 由于 反证，若A与P(A)对等， 则有双射 是双射，所以存在