Lagrange系统的Lie对称性.pdfVIP

第 34卷第5期 东 北 电 力 大 学 学 报 Vo1．34．No．5 2014年 10月 JournalOfNortheastDianliUniversity Oct．．2014 文章编号：1005—2992(2014)05—0095—05 Lagrange系统的 Lie对称性 刘洪伟 (东北电力大学 理学院，吉林 吉林 132012) 摘 要：研究了Lagrange系统的Lie对称性两种提法的等价性，给出证明过程。 关 键 词：Lagrange系统；Lie对称性；守恒量 中图分类号：0152．5 文献标识码：A 近年来关于力学系统对称性与守恒量的研究已成为一热门课题。研究的对称性主要有Noether对 称性、Lie对称性、Mei对称性，三种对称性可直接导致守恒量，也可问接导致守恒量。它们导致的守恒 量主要有Noether守恒量、Hojman守恒量和Mei守恒量。关于 Lagrange系统对称性的研究已有一些成 果 ¨J，关于Emden方程对称性的研究也有一些成果 J。Lie群在微分方程可积性的研究中起着重要 作用，近年来关于单参数 Lie群理论有了较快速的发展，得到一些结果 。 本文将结合单参数Lie群理论研究Lagrange系统的Lie对称性与守恒量，试图给出Lagrange系统的 Lie对称性确定方程一种更简洁表达形式，并以Emden方程为例给出由Lie对称性导致的守恒量。 1 主要知识 研究 阶非 自治系统 譬=置()，(1，2，…，)， (1) 其中 =(。，：，…，)。系统(1)对应的微分算子记为 X + 置( )O (、2) x · Ot 设某单参数 Lie群 G的无限小生成元向量为 = ， )盖+ ，)O旦Xi· (3) 文献 [8]给出如下结论，这里记为引理。 引理 1 非 自治系统(i)接受生成元为(3)的单参数Lie群G的充要条件为 [ ， ]： ． (4) 其中[ ， ]=X V 一 ． 引理2 函数 (t，)是非 自治系统(1)的首次积分当且仅当 (t，)=0． 引理3 设函数 (t，)是非 自治系统(1)的首次积分， 是系统(1)所接受的单参数Lie群的无 收稿 日期：2014-08—15 基金项 目：东北电力大学理科基础研究资助项 目；东北电力大学青年优秀骨干教师资助项 目 作者简介：刘洪伟 (1980一)，男，吉林省榆树市人，东北电力大学理学院副教授，博士，主要研究方向：非线性动力系统 96 东北电力大学学报 第34卷 限小生成元向量，V (t，)=厂，$Jif仍是系统(1)的首次积分或常数。 2 Lagrange系统的运动微分方程 Lagrange系统的运动微分方程为 E(L)=0．(s=1，2，…，n) (5) 其中丢未一为Euler算子为系统的广义坐标为广义速度。假设系统(5)非奇异，解出所 有广义加速度 ，记作