2.3.1平面向量基本定理71962.pptVIP

* 2.3.1平面向量基本定理 2.3.2平面向量正交分解及坐标表示 一般地,实数 与向量 的积是一个向量,记作: (1) (2)当 时, 的方向与 的方向相同; 当 时, 的方向与 的方向相同; (3)当 时,或 时, 一、数乘的定义： 它的长度和方向规定如下: 二、数乘的运算律： (2)第一分配律: (1)结合律: (3)第二分配律: 1. 定理:向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ,使得. 三、向量共线的充要条件： 2).证明 三点共线: 直线AB∥直线CD AB=λCD AB∥CD 利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题.但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行则含两向量重合. 2. 定理的应用： 1).证明 向量共线 3).证明 两直线平行: AB与CD不在同一直线上 又B为公共点 A,B,C三点共线 AB ∥ BC AB=λBC 设 、 是同一平面内的两个不共 线的向量，a 是这一平面内的任一向量， 我们研究 a 与 、 之间的关系。 a 研究 OC = OM + ON = OA + OB 即 a = + . a A O a C B N M M N 平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、 使 共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不 a = + 示这一平面内所有向量的一组基底。 我们把不共线的向量 、 叫做表 （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） 思考 E F F A N B a M O C N M M O C N a E 思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ （可以不同，也可以相同） O C F M N a E E A B N OC = 2OB + ON OC = 2OA + OE OC = OF + OE (1)不共线的向量 叫做这一平面内所有向量 的一组基底; 平面向量基本定理: (4)基底给定时,分解形式唯一. (2)基底不唯一; 如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 , 使 (3) 任一向量 都可以沿两个不共线的方向（ 的 方向）分解成两个向量（ ）和的形式； 说明： 已知向量 求做向量-2.5 +3 例1： 、 O A B C · 例2：凸四边形ABCD的边AD,BC的中点分别为E,F, 用 表示 D A B C E F 例3.如图, 不共线, 用 表示 O P B A 变式： 不共线,点P在O、A、B所在的平面内, 且 求证：A、B、P三点共线 例4、 如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点. 请大家动手, 在图中确定一组 基底，将其他向 量用这组基底表 示出来。 A N M C D B 解析： BC = BD + DC = MN = DN-DM =(AN-AD)- DC (AD–AB)+DC A N M C D B DC = AB = 设AB = ,AD = ,则有： = - . = - + = = - - - + 评析 能够在具体问题中适当地选取 基底，使其他向量能够用基底来表 示，再利用有关知识解决问题。 向量的夹角 两个非零向量 和 ，作 ， 与 反向 O A B O A B 则 叫做向量 和