场与物质相互作用的量子理论要点.ppt

* 对比(6.17)和(6.11)，以及(6.16)和(6.12)，可知工作在阈值以下的激光光场，其光子分布与热辐射场的分布相同，它是若干模式的统计系综分布。 10.6.2 激光振荡在阈值处的情况 在阈值处，单位时间注入的增益原子数与损耗原子数相等，即λa=λb，故 将上式代入(6.3)式，有 * ρnn(n=0,1,2…)作为处于|n态的几率是非负的，若ρnn0，则对于任1k≤n，都有 因此最大几率仍然在ρ00处，随着n的增加，ρnn在单调下降，但是要比在阈值以下时下降得平稳一些(见图(6.1)中的点划线)。 * 10.6.3 激光振荡在阈值以上的情况 在阈值以上时，单位时间注入的增益原子数大于损耗原子数，即λaλb，故AC，此时根据(6.3)式画出的n-ρnn曲线图，由图(6.1)中的虚线表示 当n(A-C)/B时，即(A-nB)/C1时，ρnn随着n的增加而增加，直到n=ns达到最大值，其中 * 当nns时ρnn随着n的增加而下降。另一方面，当kA/B时，ρnn不再是正定的，而是正负交替变化，这在物理上是不允许的。产生这一不合理的根源在于，我们在前面的计算中，对增益原子只取到四级微扰近似。若采用强信号解（严格的解析解），则不会存在这一问题。在稳态情况下，dρnn/dt=0，由(5.22)式得 * 从而得到 利用Γ函数（第二类Euler积分），即 * 由Γ(z+2)=(z+1)Γ(z+1)知 * 令z=A/B，即有 于是 * 于是(6.22)式又可以写成 显然，在这个非微扰的严格解里，不会出现ρnn0的不合理的现象 * 10.6.4 远大于阈值的情况 当激光运转在远大于阈值时，腔内光子数n很大，使得nA/B=3/g2τ2，此时(6.23)式变为 * 把(6.24)式代入以下归一化条件，有 把上式代入(6.24)式，得到 * 利用(6.26)式，可求平均光子数 即 * 把(6.27)式代入(6.26)式，最后得到激光光场处于光子数本征态|n的几率(即光场有n个光子的几率)为 这正是Poisson分布。因此，当激光运转在远大于阈值时(nA/B)，光子分布曲线的峰值迅速增加而宽度急剧变窄，越来越趋向于单模相干态光子的Poisson分布。 * 图(6.2)实线表示热平衡时光子遵从的Planck分布；图(6.3)实线表示在阈值以上20％工作状态时的光子统计分布曲线(虚线是远大于阈值时相干态的Poisson分布) ρnn n 图(6.2) ρnn n 图(6.3) * 由下面的图(6.4)和(6.5)可见，在激光器开始工作的最初几秒内，激光场中的光子很少，这时光子分布接近于热平衡下的Planck分布。随着激光场的逐渐增强，光子数逐渐增加，由低于阈值到高于阈值。随着时间t的推移，光场的光子数分布逐渐过渡为激光场的光子统计分布，最后趋向于相干态的Poisson分布。 * 图6.4 光子数几率ρnn与光子数n的关系曲线 ρnn n * 图6.5 光子数几率ρnn与光子数n的关系曲线 103ρnn(t) 10-3n * φ * * 讨论：以上计算是基于(5.16)式的“粗粒化近似”(coarse-grained approximation)，即假定在时间间隔Δtτ内辐射场基本不变化，而辐射场随时间变化的微分，对应它在时间间隔τΔtτf内的平均变化，就好像一维时间是以τ为最小单元构成的一样，把场在这个时间单元以内的变化细节通过平均给抹掉。这种近似带来方便，但是不能描述场的某些噪音。 * 10.5.5 光子数表象下辐射场密度矩阵元运动方程 用|φ表示单模辐射场的状态矢量，|n (n=0,1,2…)表示辐射场的粒子数本征态，辐射场的密度算符及其在粒子数表象下的矩阵表示为（为方便计，把下标f去掉） 显然ρnn代表光场有n个光子的概率 * 密度矩阵元随时间的变化为 * 把前面两式代入(5.19)式右边，利用 得到场的密度矩阵元的运动方程为 * * 对角元ρnn代表辐射场中有n个光子的概率，对上面(5.20)式令m=n，得到对角元ρnn随时间的变化为 以上给出的是微扰近似解。严格的解析解，即非微扰的强信号解，前人也已经给出，即 * 当nB/A1时，对(5.22)式取近似 则(5.22)式变成(5.21)式。在下一节中我们将知道，条件nB/A1相当于光子数远小于激光器震荡阈值，因而是弱信号近似。 * (5.21) 式描述场处于态|n上的几率变化，它可以重新表达为(右边=“增加”与“减小”) 或(右边=“n-1 ?n”与“n?n+1”) * 由于ρnn代表场处于态|n上的几率，(5.23)式右边的正数项，让场处于态|n的几率增加，表示光场由其他态向态|n跃迁的过程；负数项让场处于态|n的几率减小，表示光场由态|n向其他态跃迁的过程 。λa和λb分别代表单