分层网格上奇异摄动问题的一致NIPG分析.pdfVIP

2014年 11月 计 算 数 学 第 36卷第 4期 NOV．，2014 MATHEMATICA NUMERICA SINICA Vo1．36，No．4 分层网格上奇异摄动问题的 一 致 NIPG分析冰1) 杨宇博 (嘉兴学院南湖学院，浙江嘉兴314001) 祝 鹏 尹云辉 (嘉兴学院数理与信息工程学院浙江嘉兴314001) 摘 要 本文采用非对称内罚间断有限元方法 (以下简称 NIPG方法)求解一维对流扩散型奇异摄动 问题．理论上证明了采用拉格朗日线性元的NIPG方法在分层网格上至多相差一个关于摄动参 数对数因子的拟最优阶的一致收敛性，即在能量范数度量下其误差估计为 0( )，其中N 为网格剖分中单元个数．数值算例验证了理论分析的正确性． 关键词：奇异摄动问题；分层网格；NIPG方法；一致收敛性 MR (2000)主题分类：65N30 1．引 言 考虑如下一维对流扩散型的奇异摄动 问题，其模型方程为 I—E乱+bu+c=f inQ=(0，1)， Ir“(0)=u(1)=0， 其中e为一个正的小参数，函数 b()，c()，f(x)充分光滑，并满足下列条件： 1 b(x)一，0，c(x) 0，。三c(x)一去6() CO0，Vx∈． (1．2) 这些假设条件保证了问题 (1．1)对于任意的．厂∈L(Q)存在属于空间 (Q)n瑶 (Q)的唯一 解，并且解通常在边界 X=0处有一个宽度为 (=)(Ein )的指数型边界层 _1J． 奇异摄动问题在计算流体力学、化学反应和最优控制等领域有着广泛的应用．众所周 知，当扰动参数 e非常小时，传统的数值方法对问题 (1．1)是不稳定的，且得不到正确的结 果LlJ．因此，许多文献采用层适应网格，如Shiskin网格 (s型网格)、Bakhvalov网格 (B型网 格)、Bakhvalov-Shishkin网格 (B．s型网格)，得到了关于扰动参数E的一致收敛性，参看文献 [1—4】等．但是 Linss和 Stynes[5J通过一些数值算例分析指出通常的数值方法在 Shishkin型 网格上的计算效果对网格构造中出现的参数的选择非常敏感，即参数的选取对计算结果影响 很大．因此，很有必要在层适应网格上采用诸如 SDFEM和间断有限元方法等强稳定的数值 方法，此类研究已有不少，见文献 [6-8]等．而 Dur~n等 L9J于2006年首次提出了分层网格，此 2013年 12月26日收到． )基金项 目：浙江省 自然科学基金 (LQ12A01014)和浙江省教育厅科研项 目(Y201330020)资助项 目 438 计 算 数 学 网格作为 Shishkin型网格的一种改进格式，相邻单元的尺寸变化平缓，不需要再考虑转变点， 从而计算效果受网格参数影响不大．在分层网格上，利用双线性有限元逼近，Dur~n等 9【J针 对二维的对流扩散型的奇异摄动问题，得到了关于能量模至多相差一个关于摄动参数对数因 子的拟最优阶一致收敛的误差估计；而 Zhu等 [10】针对反应扩散型的奇异摄动问题得到了类 似的结果． 本文在分层网格 [0l的基础上，给出了对应的修正的分层网格 (2．1)和 (2．2)，从而得到了 网格步长的上、下界；继而能够在稳定性更好的分层网格上使用稳定性更强的NIPG方法，得 到了与文献 [9]相同的拟最优阶一致收敛的误差估计，即在能量范数下误差阶为 (坐— )． 另外，文献