概率论与数理统计答案 概率论答案05.docVIP

概率论与数理统计答案 概率论答案05 第5章 极限定理 1、?为非负随机变量，若Eea???(a?0)，则对任意x?o，P{??x}?e?axEea?。 2、若h(x)?0，?为随机变量，且Eh(?)??，则关于任何c?0， P{h(?)?c}?cEh(?)。 ?1 4、{?k}各以 平均值？ 12 概率取值ks和?ks，当s为何值时，大数定律可用于随机变量序列?1,?,?n,?的算术 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： k （1）P{Xk??2}? 12 ； k?(2k?1)?2k ,P{Xk?0}?1?2（2）P{Xk??2}?2； （3）P{Xk??2}? k 12 k ? 12 , P{Xk?0}?1?k ? 12 。 7、若?k具有有限方差，服从同一分布，但各k间，?k和?k?1有相关，而?k,?1(|k?l|?2)是独立的， 证明这时对{?k}大数定律成立。 8、已知随机变量序列?1,?2,?的方差有界，D?n?c，并且当|i?j|??时，相关系数rij?0，证明 对{?k}成立大数定律。 9、对随机变量序列{?i}，若记?n? 1n (?1????n)，an? 1n (E?1???E?n)，则{?i}服从大数定律 ?(?n?an)2? ?0。 的充要条件是limE?2?n??1?(??a)nn?? 10、用斯特灵公式证明：当n??,m??,n?m??，而 ?2n??1??????n?m??2? 2n mn ?m 2 ?0时， ~ 1n 。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。 1 13、求证，在x?o时有不等式 x1?x 2 ? 12x 2 e? ? ?x e 12?t2 dt? 1x e ? 12 x 2 。 14、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，0?p?1，则不管k是如何大的常数，总有 P{|?n?np|?k}?0(n??)。 15之间的概率不小于90%。并用正态逼近计算同一问题。 16、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛——拉普拉斯定理估计下面概率：P? 里?n是n次贝努里试验中成功总次数，p为每次成功的概率。 11 17、现有一大批种子，其中良种占，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与 66 ??n ? ?p???并进行比较。这?n? 之差小于1%的概率是多少？ 11 18、种子中良种占，我们有99%的把握断定，在6000粒种子中良种所占的比例与之差是多少？这 66 时相应的良种数落在哪个范围内？ 19、蒲丰试验中掷铜币4040次，出正面2048次，试计算当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之 差的偏离程度，不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率。 20、设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于连续的分布函数F(x)，试证这收敛对x?R1是一致的。 22、试证若正态随机变量序列依概率收敛，则其数学期望及方差出收敛。 ?0 24、若Xn的概率分布为?1 ?1?? n? n? ? 1，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。 ??n? 25、随机变量序列{?n}具有分布函数{Fn(x)}，且Fn(x)?F(x)，又{?n}依概率收敛于常数c?0。 试证：（I）?n??n??n的分布函数收敛于F(x?c)；（II）?n? ?X?Xn?X???0； 26、试证：（1）Xn?? ?X,Xn???Y?P{X?Y}?1； （2）Xn?? P P P P ?n?n 的分布函数收敛于F(cx)。 ?X?Xn?Xm???0(n,m??)； （3）Xn?? ?X,Xn???Y?Xn?Yn???X?Y； （4）Xn?? ?X,k是常数kXn???kX； （5）Xn?? 22 ?X?Xn???X； （6）Xn?? P P P P P P P PP 2 PP （7）Xn?P??a,Yn???b,a,b常数XnYn???ab； P?1（8）Xn?P??1?Xn???1； P（9）Xn?P??a,Yn???b,a,b常数b?0?XnYn???ab ?1P?1 ； P（10）Xn?P??X,Y是随机变量?XnY???XY； PP（11）Xn?P??X,Yn???Y?XnYn???XY。 P1 27、设Xn?P??X。而g是R上的连续函数，试证g(Xn)???(X)。 a?s?28、若{Xn}是单调下降的正随机变量序列，且Xn?P??0，证明Xn???0。 29、若X1,X2,?是独立随机变量序列，?是整值随机变量，P{??k}?pk，且与{Xi}独立，求 ??X1???X?的特征函数。 30、若f(t)是非负定函数，试证（1）f(0)是实的，且f(0)?0；（2）f(?t