《高等数学教学课件》gs2（64）8-1.pptVIP

授课教师：韩艳敏 联系电话办公地点：7B325 Email:mammey2008@126.com 密码：123456 高等数学（一） 函数与极限 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分 定积分的应用 微分方程 高等数学（二） 空间解析几何与向量代数 多元函数微分法及其应用 重积分 曲线积分与曲面积分 无穷级数 数量关系 — 第八章 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算 第一节 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 一、向量的概念 长度（大小） 方向 位移、速度、力。。。。。。 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 一、向量的概念 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 记作 e 或e . 或 a . 注：以后不加说明都是指自由向量。 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 记作－a ; 零向量的方向如何呢？ 则称 a 与 b 相等 二、向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . ? 2. 向量的减法 三角不等式 可见 3. 向量与数的乘法 ? 是一个数 , 规定 : 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 定理1. 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) 证: “ ”. , 取 ?＝± 且 再证数 ? 的唯一性 . 则 a∥b 设 a∥b 反向时取负号, , a , b 同向时取正号 则 b 与 ? a 同向, 设又有 b＝? a , 例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 三、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 O , 坐标面 卦限(八个) 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ zOx面 2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的分向量, 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 记 四、利用坐标作向量的线性运算 则 平行向量对应坐标成比例: 设 例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 解: ① ② 2×① －3×② , 得 代入②得 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式: 对两点 与 例4. 求证以 证: 即 为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 例5. 在 z 轴上求与两点 等距 解: 设该点为 解得 故所求点为 及 离的点 . 例6. 已知两点 解: 求AB的单位向量 e . 2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角? , ? , ? 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 方向余弦的性质: 例7. 已知两点 和 的模 、方向余弦和方向角 . 解: 计算向量 3. 向量在轴上的投影 则 a 在轴 u 上的投影为 例如, 在坐标轴上的投影分别为 设 a 与 u 轴正向的夹角为? , , 即 投影的性质 2) 1) (?为实数) 例9. 设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且 求OA 在 OM 方向上的投影. 解: 如图所示, 记 ∠MOA = ? , 作业 P12 3 , 13, 15, 18, 19 设 求以向量 行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为 解： 为边的平 练习题 *