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第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为 V2 = HA （1） p2= p1 经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为 （2） （3） 渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为 （4） （5） 式中??为水的密度，可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数 （6） 在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数 （7） 式中NA为阿伏伽德罗常量． 渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了?p （8） 经过2小时渗透室上部分中空气的压强为 （9） 测试过程的平均压强差 （10） 根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数 （11） 评分标准： 本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分． 二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角?1，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角?2，就可以计算出此时星体C与地心的距离OC． 因卫星椭圆轨道长轴的长度 (1) 式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒 (2) 式中m为卫星的质量．由机械能守恒 (3) 已知 ， 得 (4) 所以 (5) 在△ABC中用正弦定理 (6) 所以 (7) 地心与星体之间的距离为，在△BOC中用余弦定理 (8) 由式(4)、(5)、(7)得 (9) 评分标准： 本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分． 三、因?子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命 根据时间膨胀效应，在地球上观测到的?子平均寿命为?， (1) 代入数据得 ? = 1.4×10－5s (2) 相对地面，若?子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的?子数为 (3) 根据题意有 (4) 对上式等号两边取e为底的对数得 (5) 代入数据得 (6) 根据题意，可以把?子的运动看作匀速直线运动，有 (7) 代入数据得 (8) 评分标准： 本题15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分． 四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中表示组合透镜的平面，、、为三个光束中心光线与该平面的交点． ＝ u就是物距．根据透镜成像公式 (1) 可解得 因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utan? ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得 ≈1.757h (2) 此解满足上面的条件． 分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有 (3) 即光心O1的位置应在之下与的距离为 (4) 同理，O3的位置应在之上与的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点． 2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜． 因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别