函数复习资料[最终版].docVIP

6.2. 函数 6.2.1. 函数及其相关概念 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量． 注意：变量和常量往往是相对的，相对于某个变化过程．在不同研究过程中，作为变量与常量的身份是可以相互转换的． 一般的，在某一变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数． 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式．例如，代数式，2-1，，，等等都是函数解析式．其中用数学式表示函数的方法叫做解析法． 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数的自变量的取值范围． 对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当=时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做当=时的函数值，简称函数值． 注意： (1)当函数是由一个解析式表示时，欲求函数值，实质就是求代数式的值． (2)当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程． (3)当已知函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式． 6.2.2. 函数的三种表示法及其优缺点 1、解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法．解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来． 2、列表法 把自变量的一系列值和函数的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．如平方表、平方根表等．列表法一目了然，表格中已有自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律． 3、图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法．图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最大值(或最小值)？最大(小)值是多少？函数值是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具．但是，由图象观察只能得到近似的数量关系． 6.3. 函数的图象 函数图象的概念： 对于一个函数，如果把自变量和函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 由函数解析式画其图象的一般步骤： 1、列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； 2、描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； 3、连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连结起来． 函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系： 由函数图象的定义可知图象上任意一点中的，是解析方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上． 通常，判定点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上．反之亦然． 注意：两个函数图象的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解．即求交点坐标，就是解方程组． 6.4. 一次函数 6.4.1. 正比例函数和一次函数的概念 一般的，如果(是常数，)，那么叫做的一次函数． 特别的，当一次函数中的为0时，(为常数，)．这时，叫做的正比例函数． 一般情况下，一次函数和正比例函数中自变量的取值范围是全体实数． 注意：若，则(为常数)，这样的函数叫做常函数，它不是一次函数． 正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数．用集合表示正比例函数与一次函数的关系如图所示： 6.4.2. 正比例函数和一次函数的图象和性质 一次函数的图象： 所有一次函数的图象都是一条直线．一次函数的图象，也称作直线． 一次函数、正比例函数图象的主要特征： 一次函数的图象是经过点(0，)的直线；正比例函数的图象是经过原点(0，0)的直线． 注意：点(0，)是直线与轴的交点．当0时，此交点在轴的正半轴上；当0时，此交点在轴的负半轴上；当时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数． 因为一次函数解析式中的决定直线与轴交点的位置，所以通常把叫做直线在轴上的截距． 正比例函数的性质: 一般的，正比例函数有下列性质： (1)当0时，图象经过第一、三象限，随的增大而增大； (2)当0时，图象经过第二、四象限，随的增大而减小． 一次函数的性质: 一般的，一次函数有下列性质： (1)当0时，随的增大而增大； (2)当时，随的增大而减小． 6.4.3. 两条直线的位置关系 设直线和的解析式为和，则它们的位置关系可由其系数确定： ； ； ．