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三维图形变换的统一矩阵 摘　要　对轴测投影和透视投影变换矩阵进行了研究, 推出了三维图形变换的统一矩阵。 关键词　轴测投影,透视投影; 变换矩阵 计算机绘制物体的投影图, 是将三维空间的物体用二维平面上的图形来示, 因此需要进行图形变换。而进行图形变换一种行之有效的方法是矩阵及其运算, 它使得计算机绘图简便易行。目前概括轴测投影和透视投影变换矩阵的统一 矩阵还少有报道, 对三维图形变换矩阵进行研究很有必要。 常用的三维图形变换矩阵有绕Z轴的旋转矩阵S1, 绕X轴的旋转矩阵S2, 平移矩阵S3, 向V面的正投影矩阵SV, 它们分别为[ 1] 其中,
,
分别为绕Z轴和X轴旋转的角度, l, m,n为平移参数。 1　轴测投影变换矩阵 如图1所示。设空间点P在直角坐标系0-XYZ中的坐标为( X, Y, Z) , P点沿着投影方向AO 向OXZ面进行投影, 就得到P点的斜轴测投影P0( X0, Z0) , 投影方向AO的方向角, 由图可得 由此可得斜轴测投影的变换矩阵 通常轴测投影的投影面为一般位置平面方向为一般位置直线, 为了得到其变换矩阵, 可将, 投影面先绕Z轴旋转
角, 再绕X轴旋转
角,使投影面达到平行于OXZ面的位置; 与此同时, 物体和投影方向也作相同的旋转。若变换前投影方向的方向余弦为cos
, cos
, cos
, 上述变换可写成 变换后的物体向OXZ面进行斜轴测投影, 其变换矩阵为 式中, 因此, 可得一般轴测投影的变换矩阵 当
=
= 0°时, A=A1; 当L=N= 0, 即投影方向旋转后与OY轴方向一致时, A就变为正轴测投影变换矩阵 2　透视投影变换矩阵 如图2所示。设空间点P在直角坐标系O—XYZ中的坐标为( X, Y, Z) , 透视投影面为V( OXZ) 面, O为主点, 视点E在Y轴上, 视距为D.引视线EF与V 面的交点即为P点的透视投影P0( X0, Z0) . 由图可得 由此可得透视变换矩阵 为了获得三维物体的透视投影变换矩阵, 可将物体先绕Z轴旋转
角, 再绕X轴旋转
角, 然后进行平移, 再进行透视变换, 最后向V 面进行投影,就得到该物体的三点透视投影变换矩阵 当
= 0°时, P3 就成为二点透视投影变换矩阵 当
=0°,
= 0°时, P3 就成为一点透视投影变换矩阵 3　三维图形变换的统一矩阵 物体在一个投影面上得到的投影可以是透视投影, 也可以是轴测投影。当投影中心为固有点时, 所得投影为透视投影; 当投影中心为非固有点时, 所得投影为轴测投影。为了得到三维图形的统一变换矩阵, 需对物体进行如下变换: 1) 绕Z轴转
角;2) 绕X轴转
角; 3) 平移; 4) 透视变换; 5) 斜轴测变换; 6) 向坐标面投影。这样, 就得到三维图形变换的统一矩阵 式中所有参数的意义同前。当投影中心S为固有点时, 经旋转变换后, 落于Y轴上, 视距为D, 此时OS垂直于OXZ面, LN=0, 所以矩阵T成为就变为三点透视投影变换矩阵P3.当投影中心S为非固有点时, 视距D= ∞, 又因在平行投影条件下, 物体的平移只影响其投影的位置, 而不影响其投影的形状和大小, 所以可取l=m=n= 0, 这样矩阵T就变成了轴测投影矩阵A. 4　结　论 推出了三维图形变换的统一矩阵, 把透视投影和轴测投影即把中心投影和平行投影统一起来。 参　考　文　献 1　上海交通大学, 浙江大学, 南京工学院. 计算机制图. 北京: 高等教育出版社, 1985. 138～166