大学物理教学资料汇编-10第十章 机械振动.pptVIP

物体在周期性外力的持续作用下发生的振动 称为受迫振动。 一、受迫振动 §10-3 受迫振动 共振 物体所受驱动力： 运动方程： 令 ， 对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为: 衰减项 稳态项 稳态时振动物体速度： 在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。 式中 经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项: 对于受迫振动，当外力幅值恒定时，稳定态振幅随驱动力的频率而变化。当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。 二、共 振 受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振。 根据 在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。 阻尼=0 阻尼较小 阻尼较大 共振的应用和防止 共振筛 共鸣箱 应用 防止 1.队列或火车过桥时要便步走或放慢速度 2.在振动物体底座加防振垫 3.装修剧场、房屋时使用吸声材料等 简谐振动的机械能守恒。 能量平均值 上述结果对任一谐振系统均成立。 考虑到 ，系统总能量为 ，表明 谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: 例一弹簧振子沿x轴作简谐振动，振子的质量m=2.5kg，弹簧的劲度系数k=250N/m.当振子处于平衡位置右方且向x轴负向运动时开始计时，此时 求：初态振子的位移和速度及系统的振动方程 解： t=0 x(m) 0 \/\/\/\/\/\/\/\ o m k x 练习 一弹簧振子沿x轴作简谐振动，物体的质量m=0.025kg，弹簧的劲度系数k=0.4N/m.当物体在正向离平衡位置0.1m处时，运动的速率v=0.4m/s 。求： (1) 系统的总能量E； (2) 振幅A； (3) 物体的最大速率vm； (4) 物体在A/2处具有的动能Ek和势能Ep 例：如图所示，两根相同的弹簧与质点m联接，放在光滑的水平面上。弹簧另一端固定在墙上，两端墙之间距离等于弹簧原长的二倍，令m沿水平面振动，当m运动到两墙间中点时，将一质量为M的质点轻轻粘在m上，求M与m粘上前后，振动系统的圆频率比及振幅比。 m k \/\/\/\/\/\/\ \/\/\/\/\/\/\ k M x o x kx kx 解：当m偏离o点x处 M粘上以后，弹簧振子质量为M+m，其他条件不变 在M与m粘接过程中，M+m系统水平方向动量守恒，以 表示粘上后二者的速度，则 *六、用能量法解谐振动问题 步骤： 一阶微分方程，再根据初始条件，即可求出振动 从给定系统的能量关系式出发，得到振动的 方程。 *例题10-3 在横截面为S的U形管中有适量液体， 液体总长度为 ，质量为 ，密度为 ，求液面上下 起伏的振动频率（忽略液体与管壁间的摩擦）。 解：选如图所示坐标系，两液面相齐时的平衡位置 为势能零点。 系统的势能为 液体的动能为 由能量守恒得 对时间求导，并整理可得 液体作简谐振动，其角频率及周期分别为 又因为 设一质点同时参与沿同一方向(x 轴)的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为 合位移： 合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。 一、同一直线上两个同频率的谐振动的合成 其中 §10-5 一维谐振动的合成 旋转矢量图示法 矢量沿x 轴之投影表征了合运动的规律。 1.当两振动同相 同相叠加，合振幅最大。 讨论： 2.两振动反相 反相叠加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。 3.通常情况下，合振幅介于 之间。 和 附：用解析法对两个简谐振动进行合成 令 其中 所以 例题10-6 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振 求它们的合振动的振幅和初相。 解：采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开繁琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示： 振动表达式可写成: 幅相等，初相分别为 依次差一个恒量 ， 根据简单的几何关系，可得 中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上， 因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 ，上图 令其半径为R， 考虑到 在三角形OCM中,OM 的长度就是合振动位移矢量 的位移,角度 就是合振动的初相，据此得 合振动初位相 可得合振动的表达式 当 时(同相合成)，有 合振幅最大 例：两个同方向、同频率的简谐振动的振动方程分别为 求：合振动的振动方程。 解：利用旋转矢量图进行分析 o x 合振动的角频率 振幅 合振动方程 初相 例： 三个同方向、同频率的简谐振动为 求：合振动的角频率、振幅、初相及振动方程。 解：利用旋转矢量图进行分析 o x 合振动的角频率 振幅 振动方程： 初相 解析法 或 两个简谐振动合成得 当两个同