3.3导数的综合应用分析报告.doc

§3.3　导数的综合应用 1. 会用导数解决实际问题。 1． 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2． 不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 题型一　利用导数证明不等式 例1　已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2ln x＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同． (1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x0)． 思维启迪　(1)设公共点为(x0，y0)，则f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)可得a，b的关系； (2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)的最值． (1)解　设两曲线的公共点为(x0，y0)， f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝， 由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)， 即 由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)． 即有b＝a2＋2a2－3a2ln a＝a2－3a2ln a. 令h(t)＝t2－3t2ln t(t0)，则h′(t)＝2t(1－3ln t)． 于是当t(1－3ln t)0，即0te时，h′(t)0； 当t(1－3ln t)0，即te时，h′(t)0. 故h(t)在(0，)上为增函数，在(，＋∞)上为减函数， 于是h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h()＝， 即b的最大值为. (2)证明　设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2ln x－b(x0)， 则F′(x)＝x＋2a－＝(x0)． 故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数． 于是F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0. 故当x0时，有f(x)－g(x)≥0， 即当x0时，f(x)≥g(x)． 思维升华　利用导数证明不等式的步骤 (1)构造新函数，并求其单调区间； (2)判断区间端点函数值与0的关系； (3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式． 　当0x时，求证：tan xx＋. 证明　设f(x)＝tan x－， 则f′(x)＝－1－x2＝tan2x－x2 ＝(tan x－x)(tan x＋x)． 因为0x，所以xtan x(简单进行证明亦可)， 所以f′(x)0，即x∈时，f(x)为增函数． 所以x∈时，f(x)f(0)． 而f(0)＝0，所以f(x)0，即tan x－0. 故tan xx＋. 题型二　利用导数求参数的取值范围 例2　已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围． 思维启迪　(1)解f′(x)＝0，根据函数值的变化得到单调区间、极值； (2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过F(x)的单调性和函数值的变化研究f(x)、g(x)的交点情况． 解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e1－a， 当x∈(0，e1－a)时，f′(x)0，f(x)是增函数； 当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)0，f(x)是减函数． 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e1－a]， 单调递减区间为[e1－a，＋∞)， 极大值为f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无极小值． (2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝， 则F′(x)＝. 令F′(x)＝0，得x＝e2－a；令F′(x)0，得xe2－a； 令F′(x)0，得xe2－a， 故函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数， 在区间[e2－a，＋∞)上是减函数． ①当e2－ae2，即a0时， 函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数， 在区间[e2－a，e2]上是减函数，F(x)max＝F(e2－a)＝ea－2. 又F(e1－a)＝0，F(e2)＝0， 由图象，易知当0xe1－a时，F(x)0； 当e1－ax≤e2，F(x)0， 此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有1个公共点． ②当e2－a≥e2，即a≤0时，F(x)在区间(0，e2]上是增函数， F(x)max＝F(e2)＝. 若F(x)max＝F(e2)＝