二重积分计算法试题.pptVIP

二重积分的计算法 一、直角坐标系下二重积分的计算 ★注意： 二、利用极坐标计算二重积分 * 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 ——化二重积分为两次定积分 ①积分区域D为X—型区域 ②积分区域D为Y—型区域 ④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ③积分区域D 既是X—型，也是Y—型 如果区域D可以表示为不等式j1(x)?y?j2(x), a?x?b,则称区域D为X型区域. ①积分区域D为X—型区域 直线 与D的边界至多有两个交点 ②积分区域D为Y—型区域 直线 与D的边界至多有两个交点 如果区域D可以表示为不等 , c?y?d,则称区域D为Y型区域. ③积分区域D 既是X—型，也是Y—型 ④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型 提示? z?f(x, y)为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积. 提示? 截面是以区间[j1(x0), j2(x0)]为底、以曲线z?f(x0, y)为曲边的曲边梯形. 提示? 根据平行截面面积为已知的立体体积的求法. 设f(x, y)?0, D={(x, y)|j1(x)?y?j2(x), a?x?b}. 二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积 对于x0?[a, b], 曲顶柱体在x?x0的截面面积为 曲顶柱体体积为 如果D是X型区域: D={(x, y)|j1(x)?y?j2(x), a?x?b}, 则 上式也可以记为 如果D是Y型区域: D={(x, y)|y1(y)?x?y2(y), c?y?d}, 则 二重积分的计算 先对x后对y 的二次积分 先对y后对x 的二次积分 ⑴积分区域的形状：对于X—型（或Y—型） 直线 与D的边界至多有两个交点 直线 与D的边界至多有两个交点 ⑵积分限的确定 对于X—型（Y—型）区域D，用直线x=x(y=y)由下至上（由左至右）穿过D，穿入（出）点为对应积分的下（上）限。 【例1】计算 ，其中D是由直线 及 所围成的区域。 外层积分的上、下限均为常数；内层积分上、下限只能是外层积分变量的函数或常数，不能与内层积分变量有关。 ⑶两种特殊情形 则积分顺序可交换 如果D是X型区域: j1(x)?y?j2(x), a?x?b, 则 计算二重积分的步骤 如果D是Y型区域: y1(y)?x?y2(y), c?y?d, 则 (1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分: (4)计算二次积分. 【例3】计算 ，其中D是由直线 及 所围成的区域。 【例2】计算 ，其中D是由直线 及抛物线 所围成的区域。 ★注意积分次序的选择 【例4】求 其中 解： 若先对x再对y就求不出来 提示: 由对称性, 所求体积是第一卦限部分体积的8倍. 【例5】求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2?y2?R2及x2?z2?R2. 所求立体的体积为 【例5】求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2?y2?R2及x2?z2?R2. 所求立体的体积为 【例6】求由曲面 及 所围成的立体的体积。 有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极坐标变量 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分. 提示? 我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域. 小区域?si的面积为: i i i q r r D D = . i r 其中 表示相邻两圆弧的 半径的平均值 . 则有 i i i i i i q r h q r x sin