对平面法向量专题探究.docVIP

对平面法向量的专题探究 山东枣庄八中 277000 在现行人教版数学第二册(下B)P41给出了平面法向量的定义:如果,那么向量叫做平面的法向量.但再也没有涉及其他任何知识点,笔者经过教学实践,发现平面法向量在处理线面角.二面角以及距离等问题有着十分重要的用途,可以化繁为简,使立体几何中多年让师生感到头痛的问题迎刃而解.现举例说明: 利用平面法向量求线面角 如图1,AB为平面的斜线,为平面的法向量.如果与之间所成的角为锐角.则斜线AB与平面之间所成的角为,故欲求斜线AB与平面所成的角,只需求出向量与平面的法向量之间的夹角即可. 例题1.如图2,在长方体中,,求直线和 平面所成角的正弦值. 解:以D为原点,以方向分别作为x轴,y轴,z轴的正方向,则 设平面的法向量,则,即 故是其中一组解,即为其中一个法向量,所以 ,故所求角的正弦值为. 利用平面法向量求二面角 如图3,平面的法向量所成的角即为二面角的平面角,(注:当半平面绕着其棱转动到与另一半平面重合时,这两个向量的方向应当一致) 例题2. 如图4,在正方体中,分别是的中点,求平面和底面所成角的余弦值. 解析: 建立空间直角坐标系,如图所示,由例题1的方法,容易求得平面的法向量,底面的法向量,所以 ,即为所求角的余弦值. 利用平面法向量求点到平面的距离. 如图5,求点P到平面的距离,可以在平面上任意取一点,则 ,(为平面的法向量,方向如图). 例题3. 如图6,已知是边长为4的正方形,分别是的中点,是垂 直于所在的平面,且,求点到平面的距离. 解: 建立如图所示的空间直角坐标系,则,同例题1,容易求得平面的法向量 , 注: 求线面距,面面距,可先转化为点面距,再用此法求解. 利用平面法向量求异面直线的距离. 先设法求出同时与异面直线垂直的法向量,然后在两异面直线上分别任取点,则 . 例题4. 已知正方体的棱长为1,求直线的距离. 解析: 建立坐标系,如图7所示,则点 ,设 为与同时垂直的向量,即,故为其中 一个法向量, . 所以直线的距离为. 用心 爱心 专心 117号编辑 1