9.1二重积分概念2014.12.25范例.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 第九章 9.1 二重积分 9.1.1 二重积分的概念 9.1.2 二重积分的性质 例9.1.1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. 9.1.1 二重积分的概念 特例：平顶柱体的体积 特点：平顶. 柱体体积=底面积×高 特点：曲顶. 柱体体积=？ 解法: 无限分割的思想 曲顶柱体的体积 解法: 无限分割的思想 曲顶柱体的体积 解法: 无限分割的思想 曲顶柱体的体积 解法: 无限分割的思想 曲顶柱体的体积 解法: 无限分割的思想 曲顶柱体的体积 “分割，近似，求和，取极限” ①分割： ③求和： ④取极限: 以它们为底相应地曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 在代表区域 中任取一点 ②近似： 用任意曲线网分D为n 个区域 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “分割，近似，求和，取极限” 解决. 1) 分割 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小块 . 例9.1.2 平面薄片的质量 2) 近似 中任取一点 3) 求和 4) 取极限 则第 i 小块的质量 在 令 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “分割，近似，求和，取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: ①分割： ③求和： ④ 取极限: 则称此极限值为 定义9.1.1设 是有界闭区域 上的有界函数 作乘积 任取 ②近似： 用任意曲线网分D 为n个区域 如果极限值 存在， 在区域 D 上的二重积分， 记为 个小区域，也表示该区域的面积， 表示第 即 积分区域 被积函数 被积表达式 面积元素 积分和 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 如果 在D上可积, 元素 d? 也常记作 二重积分记作 这时 分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值 几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 若函数 在D上可积. 在有界闭区域 D上连续, 则 9.1.2 二重积分的性质 ? 为D 的面积, 则 性质9.1.1 性质9.1.2 性质9.1.3 特别, 由于 则 性质9.1.4. 若在D上 性质9.1.5. 设 D 的面积为? , 则有 性质9.1.6.(中值定理) 证: 由性质9.1.5可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点 在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使 连续, 因此 例9.1.3 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线 从而 而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 例9.1.4 不作计算，估计 其中 解: 积分域 D 的面积为 由性质9.1.5知， 的值，其中 是椭圆闭区域 这里 在 上， 因为 所以 又因为 仅在某些点处成立，从而 复习 x a b A(x) x+dx x V 平行截面面积是已知的立体的体积的求法 x y y=f(x) a b x 111111111 o f(x) V 内容小结 9.1.1. 二重积分的概念 9.1.2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) * * * 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 * * *