2013年8月 东京大学研究生入学考试.pdfVIP

受験番号 東京大学大学院新領域創成科学研究科 環境学研究系 海洋技術環境学専攻 平成２６ （２０１４）年度大学院入学試験問題 修士課程・博士後期課程共通 専門基礎科目 「論理的思考能力を見るための数理的問題」 入学試験問題及び解答用紙 平成25(2013)年 8月21日（水） 10:00～11:30 （90 分） 注意事項 １．試験開始の合図があるまで、この冊子を開いてはいけません。 ２．落丁、乱丁、印刷不鮮明な箇所などがあった場合には挙手し、試験監督者 に伝えること。 ３．このページの最上部の欄に受験番号のみ記入しなさい。それ以外の個所に 受験番号、氏名を書いてはいけません。 ４．問題は全部で9 問あります。9 問全てに解答しなさい。 ５．それぞれの問題の下に解答の道筋を書き、四角の中に答を記入しなさい。 ６．計算用紙は別に配布する。 第 1 問 以下の定積分の値を求めよ。 1 1− x ∫− 1x 1+ x dx 第２問 3 次元直交直線座標系(x ,y ,z) にて、t を媒介変数として x = a cos t ( ) y = a sin t ( ) z = at tan θ ( ) π a で表される曲線がある。但し、 , θ は定数で、a 0 , 0 θ とする。 2 (1) この曲線の概形を描け。また、これは一般に何と呼ばれる曲線か？ (2) この曲線上の任意の点での接線ベクトル（単位ベクトル）を、t を媒介変数として求めよ。 第３問 (1) 半径a の大きな円が3 個と、半径b の小さな円が1 個、 右図のようにそれぞれの円が他のすべての円と接するよ うに描かれている。この時、b をa の式で表せ。 (2) 右の図は、(1)で示した図のうち半径b の円の周辺を拡大 したものである。黒く塗られた部分（大きな円2 個と小さ な円1 個の円弧で囲まれた部分）の面積を、a とb を用い た式で表せ。 第４問 10 枚のコインがすべて表の面を上にしてテーブル X の上に積んである。最上部以外のコインのうち 2 枚のコインには表の面に目印が付けてあることがわかっている。A 君、B 君、C 君の次の発言を参考に、 最初の状態において上から何枚目と何枚目のコインに目印が付いていたかを示せ。ただし、コインの移 動などは発言の順序どおりに行われた。コインの移動時には、その枚数分のコインを重ねたまま、まと めて移動させている。また、目印の付いたコインを見たら、すぐにそのコインを抜いて自分のものとす るルールになっ