高中数学必修4三角函数常考题型弧度制.docVIP

弧 度 制1．角度制与弧度制 (1)角度制． 定义：用度作为单位来度量角的单位制． 1度的角：周角的作为一个单位． (2)弧度制． 定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. ．弧度与角度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 5. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π ．扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝αR 扇形的面积 S＝ S＝lR＝αR2 【常考题型】 题型一、角度与弧度的换算 【例1　把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－. [解]　(1)72°＝72×＝； (2)－300°＝－300×＝－； (3)2＝2×°＝°； (4)－＝－°＝－40°. 类题通法角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数． 已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角； (2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角． 解：(1)α1＝－570°＝－＝－， α2＝750°＝＝. α1＝－＝－2×2π＋， α2＝＝2×2π＋， α1是第二象限角，α2是第一象限角． (2)β1＝＝×180°＝108°， 设θ＝k·360°＋108°(kZ)， 则由－720°≤θ0°， 得－720°≤k·360°＋108°0°(kZ)， 解得k＝－2或k＝－1， 在－720°～0°范围内， 与β1有相同终边的角是－612°和－252°； β2＝－＝－×180°＝－60°， 设γ＝k·360°－60°(kZ)， 则由－720°≤k·360°－60°0°(kZ)， 得k＝－1或k＝0， 在－720°～0°范围内， 与β2有相同终边的角是－60°和－420°. 【例2　(1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________． (2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？ (1)[解析]　设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4. 故扇形的面积S＝rl＝×2×4＝4 cm2. [答案]　4 cm 2 (2)[解]　设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是＝2(π－1)， 扇形的面积是Rl＝(π－1)R2. 类题通法弧度制下涉及扇形问题的攻略 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)． (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． 已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的圆心角为α(0α2π)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l＋2r＝30，故l＝30－2r， 从而S＝lr＝(30－2r)r＝－r2＋15r＝－2＋，所以，当r＝ cm时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为 cm2. 例3　用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合． [解]　(1)如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－， 而75°＝75×＝， 终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. (2)如图，30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，kZ， 又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，kZ， 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. 类题通法用弧度制表示角应关注的三点 (1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要