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平面向量的综合运用 平阳鳌江中学 梅山该 [设计立意及思路] 《考试说明》指出：“数学学科的考试，按照‘考查基础知识的同时，注重考查能力’的原则”，且“对数学知识的考查，要全面而又突出重点，注意学科内在联系和知识间的综合，……学科内在的联系，包括各部分知识在发展过程中的纵向联系，以及各部分之间的横向联系，知识的综合性，则是从学科整体高度考虑问题，在知识网络的交汇处设计试题。” 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从2001年至2004年的高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点，如2004年高考福建卷第17题、辽宁卷第19题、全国卷Ⅱ第21题等。因此，研究向量与其它内容的综合运用，对培养学生的能力（尤其是培养学生从学科整体的高度解决问题的综合能力），把握当今高考命题改革趋势，有着重要的意义。 本专题将在回顾和梳理基础知识的基础上，突出平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高学生分析问题与综合运用知识解决问题的能力，使学生站在新的高度来认识和理解向量。 [高考考点回顾] 一、2005年考纲回放： 1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2、掌握向量的加法与减法。 3、掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。 4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 6、掌握平面两点间的距离方式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。 二、高考考点回顾： 在高考试题中，对平面向量的考查主要有四个方面： 其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算，如2004年浙江省卷第14题，2004年全国高考Ⅰ理科第3题，2004年全国高考Ⅱ理科第14题，2004年湖北高考理科解答题中的第19题。 其二考查向量坐标表示，向量的线性运算，如2004年全国高考Ⅱ理科第9题，2004年广东高考第1题，2004年上海高考文科第6题等。 其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力，如在2002年全国新课程卷上出现了与数列相结合的题目，2004年福建高考第17题（与三角函数结合），2004年全国卷Ⅱ理第21题（与解析几何结合）等； 其四是考查以向量为工具，即构造向量解决有关数量问题，如2004年重庆卷理科第21题（解析几何题）可借助向量垂直的充要条件进行求解等。 [基础知识梳理] Ⅰ、平面向量知识结构表 Ⅱ、内容概述 1、向量的概念 向量是区别于数量的一种量，它由大小和方向两个因素确定，向量有三种表示法：一是用有向线段，二是用字母a或，三是用坐标a＝（x , y）。注意共线向量（也称平行向量，方向相同或相反的向量）与相等向量（方向相同且模相等）的联系与区别。 2、向量的运算 向量的运算有加法、减法、数乘向量和向量的数量积四种。注意前三种向量运算的几何表示和四种运算的坐标表示、运算律。 3、平面向量的定理及相关性质 （1）两个非零向量平行的充要条件： a∥b a＝b (∈R) 设a＝(x1,y1),b＝ (x2,y2)a∥b x1y2－x2y1＝0 a⊥b a·b ＝0 a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)a⊥b x1·x2＋y1·y2＝0 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使 a＝λ1e1＋2e2. （4）三点共线定理：平面上三点A、，其中α＋β＝1,O为平面内的任一点。 4、 常用公式及结论 a、向量模的公式：设＝x,y）,则︱︱＝b、两点间的距离公式： ＝P1(x1,y1),P2(x2,y2)] c、线段的定比分点坐标公式： d、中点坐标公式： 或 [M（x0 ,y0） e、两向量的夹角公式： cosθ＝ [0°≤θ≤180°,a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)] fP(