平面向量的线性运算1般讲解版.docVIP

平面向量的线性运算 [知识链接] 1．向量的有关概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或称 )． (2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的． (3)单位向量：长度等于 个单位的向量． (4)平行向量：方向 的非零向量，平行向量又叫 向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：0与任一向量 ． (5)相等向量：长度 且方向 的向量． (6)相反向量：与a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反向量． 2.向量的加法运算及其几何意义 （1）已知非零向量，在平面内任取一点A，作=，则向量叫做与的 ，记做 ，即 = = ，这种求向量和的方法，称为向量加法的 。 （2）以同一点O为起点的两个已知向量为邻边做平行四边形0ACB，则以O为起点的对角线就是与的和，这种做两个向量和的方法称为向量加法的 。 (3)加法的几何意义：从法则可以看中，如下图所示． 3. 向量的减法运算及其几何意义 （1）定义= ，即减去一个向量等于加上这个向量的 。 （2）如右图，则 ， 。 4．向量数乘运算及其几何意义 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝ ； ②当λ0时，λa的方向与a的方向 ；当λ0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝. (2)运算律 设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝ ；(结合律) ②(λ＋μ)a＝ ；(第一分配律) ③λ(a＋b)＝ .(第二分配律) (3)两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是 . [基础检测]： A1．已知λ∈R，则下列命题正确的是 (　 　) A．|λ|＝λ||　 B．|λ|＝|λ| C．|λ|＝|λ||| D．|λ|0 A2．平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，点E在BC上，且＝2，设＝a，＝b，则为(　　) A.a＋b B.a＋bC.a－b D.a＋b 3．在ABCD中，＝，＝，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用、表示) 4．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N＝________. 5．下列四个命题：(1)对于实数m和向量，，恒有m(－)＝m－m； (2)对于实数m和向量， (m∈R)，若m＝m，则＝； (3)m＝n(m，n∈R，≠)，则m＝n；(4) ＝，＝，则＝，其中正确命题的个数为________． [典型例题] 题型一 向量的有关概念 A例1、判断下列各命题是否正确. （1）若|a|=|b|，则a=b; （2）若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件； （3）若a∥b,b∥c，则a∥c; （4）两向量a,b相等的充要条件是：|a|=|b|且a∥b； A[变式训练]1．判断下列各命题的真假： (1)向量的长度与向量的长度相等； (2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量； (5)向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； 其中假命题的个数为(　　) A．2　　　　B．3C．4 D．5 (2009·山东卷)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　) A.＋＝0B.＋＝0 C.＋＝0D.＋＋＝0平行四边形ABCD对角线交点C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、. 题型三 平面向量共线定理及应用 B例3设两个非零向量e1和e2不共线． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线； (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值． ，是两个不共线的向量，则向量m＝－＋k(k∈R)与向量n＝－2共线的充要条件是 ( 　　) A．k＝0