7–5判定直线和平面垂直.docVIP

第7模块 第5节 [知能演练] 一、选择题 1．给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的(　　) A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 解析：若直线l与平面α垂直，由线面垂直的定义知，直线l垂直于平面α内的任意直线，所以直线l与平面α内无数条直线都垂直；但当直线l与平面α内无数条直线都垂直时，却不能得出直线l与平面α垂直，所以“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件． 答案：C 2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是(　　) A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．aα，b⊥β，α∥β D．aα，b∥β，α⊥β 解析：选项A中，若a⊥α，b∥β，α⊥β，则有a⊥b或a∥b(b⊥α时)，故A错误；选项B中，若a⊥α，α∥β，则有a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，因此B错误；选项C中，因为aα，α∥β，所以a∥β，又因为b⊥β，所以a⊥b.反之，若a⊥b，则不一定有aα，b⊥β，α∥β，所以C正确；选项D中，当b∥β，且b与α，β的交线平行或bα时，a与b有垂直关系也有不垂直关系，当b∥β且b与α，β的交线垂直时，有a⊥b，所以D也不对． 答案：C 3．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题： ①若α⊥β，l⊥β，则l∥α； ②若l⊥α，l∥β，则α⊥β； ③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α； ④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β. 其中正确命题的序号是(　　) A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 解析：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α或lα，故①不正确；②l∥β，则过l作一平面γ使平面β与γ相交，交线设为l′，那么l∥l′，∵l⊥α，∴l′⊥α，又l′β，∴α⊥β.故②正确；③不正确．如l与平面α相交；④正确． 答案：C 4．若两个平面α，β相交但不垂直，直线m在平面α内，则在平面β内(　　) A．一定存在与直线m平行的直线 B．一定不存在与直线m平行的直线 C．一定存在与直线m垂直的直线 D．一定不存在与直线m垂直的直线 答案：C 二、填空题 5．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等) 6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题： ①点H是△A1BD的中心； ②AH垂直于平面CB1D1； ③AC1与B1C所成的角是90°. 其中正确命题的序号是________． 解析：由于ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°. 答案：①②③ 三、解答题 7．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD. 证明：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD. 又AD平面ACD，EF平面ACD， 所以直线EF∥平面ACD. (2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD， 所以EF⊥BD. 在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点， 所以CF⊥BD. 因为EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC. 又因为BD平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD. 8．如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，分别交AC、SC于D、E，且SA＝AB＝a，BC＝a. (1)求证：SC⊥平面BDE； (2)求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小． 解：(1)∵SA⊥平面ABC， 又AB、AC、BD平面ABC， ∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD. ∴SB＝＝a. ∵BC＝a，∴SB＝BC. ∵E为SC的中点，∴BE⊥SC. 又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE. (2)由(1)的结论及BD平面BDE得BD⊥SC， 又由(1)知BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC. ∴BD⊥DE，BD⊥DC. ∴∠CDE为平面BDE与平面BDC所成二面角的