[2017年整理]离散数学-1-8 推理理论.pptVIP

第一章 命题逻辑 1-8 推理理论 授课人：李朔 Email:chn.nj.lS@ 在数学和其它自然科学中，经常要考虑从某些前提A1、A2、……An出发，能推导出什么结论。 数理逻辑的主要任务是用逻辑的方法研究数学中的推理。所谓推理是指从前提出发，应用推理规则推出结论的思维过程。任何一个推理都由前提和结论两部分组成。前提就是推理所根据的已知命题，结论则是从前提出发通过推理而得到的新命题。 要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的 一、有效推理 假设一些命题为Ｔ，并使用一些公认的规则，得到另外的命题，形成结论，这种过程就是论证。 定义1-8.1 设A和C是2个命题公式，当且仅当A→C为一重言式，即A?C，则称C为A的有效结论。或C可由A逻辑的推出。A叫做C的前提。 上述定义可以推广到n个前提的情况： 设H1，H2，…，Hn,C是n+1个命题公式,当且仅当 H1∧H2∧…∧Hn?C， 称C是一组前提H1，H2，…，Hn 的有效结论。 *判断有效结论的过程就是论证过程，基本方法是真值表法、直接证法、间接证法。 二、真值表法 由定义1-8.1可以看出，要证明C是一组前提H1，H2，…，Hn 的有效结论，只需证明H1∧H2∧…∧Hn→C为重言式。而证明一个公式为重言式，可以用真值表、等值演算、主析(合)取范式或已知的蕴含式等方法进行。用等价演算和主析(合)取范式证明重言式的方法前面已经讨论过了，我们已经非常熟悉了。这里仅对真值表法作简单说明。 （1）真值表法 设P1，P2，…，Pn出现于前提H1，H2，…，Hm 和结论C的全部命题变元，假定对P1，P2，…，Pn作了全部的真值指派，这样就能对应地确定H1，H2，…，Hn 和C的所有真值，列出这个真值表，即可看出 H1∧H2∧…∧Hm?C 是否成立 即找出H1，H2，…，Hm 均为１的行，对于每一个这样的行，若C也为１,则上式成立。或C为０， H1，H2，…，Hm 中起码有一个为０ 二、真值表法 例：分析事实：“如果我有时间，那么我就去上街；如果我上街，那么我就去书店买书；但我没有去书店买书，所以我没有时间。”。试指出这个推理前提和结论，并证明结论是前提的有效结论。 解：令 Ｐ：我有时间。 Ｑ：我去上街。 Ｒ：我去书店买书。 根据题意，前提为：Ｐ→Ｑ，Ｑ→Ｒ，?Ｒ 结论为：?Ｐ 　　以下证明?Ｐ是一组前提Ｐ→Ｑ,Ｑ→Ｒ,?Ｒ的有效结论。 　　即证明：(P→Q)∧(Q→R)∧?R??P 二、真值表法 作公式P→Q，Q→R，?R，?P的真值表 从表中可以看出:P→Q，Q→R，?R都为1的行(赋值000的行)，?P也为1。 (或?P为0的行(赋值100，101，110，111的行) P→Q，Q→R，?R至少有一个为0） 所以 (P→Q)∧(Q→R)∧?R??P 三、命题逻辑的推理理论 当推理中包含的命题变元较多时，真值表法或等值演算法，主析取范式法等方法的演算量太大。给推理带来了困难。为此引入命题逻辑的推理理论。命题逻辑的推理是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已知前提，或者是由某些前提应用推理规则得到的结论(中间结论或推理中的结论)。它有两种方法：直接证法（直接推理）和间接证法（间接推理）。 直接证法（直接推理） ⑴ 直接证法（直接推理） 　基本思想是：由一组前提出发，利用一些公认的规则，根据已知的等价式或蕴含式，推演得到有效结论。 公认的推理规则有4条： P规则：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用。 T规则：推导中，如果一个或多个公式蕴含着公式S，则　　　　公式S可以引入到以后的推理之中。 置换规则：在推导过程的任何步骤上，命题公式中的子 公式都可以用与之等价的公式置换。(等价式表） 合取引入规则：任意两个命题公式A,B可以推出A∧B 常用的蕴含式和等价式见P43表1-8.3 表1-8.4 直接证法（直接推理） 例题１：用直接推理法证明 　(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ→Ｒ)∧ (Ｑ→Ｓ) ?Ｓ∨Ｒ 证法1: (1)Ｐ∨Ｑ P -(P规则，引入前提) 　　　(2) ?Ｐ→Q T(1) E -(对(1)式T规则,根据E16蕴含等值式) (3)Ｑ→Ｓ P -(P规则，引入前提) (4) ?Ｐ→Ｓ T(2),(3) I-(对(2),(3)式Ｔ规则，根据I13 假言三