[2017年整理]9-4高等数学同济大学第六版本.docVIP

习题9-4 1. 求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积. 解 位于柱面内的部分球面有两块? 其面积是相同的? 由曲面方程z=得, ? 于是 . 2. 求锥面z=被柱面z2=2x所割下的部分的曲面的面积. 解 由z=和z2=2x两式消z得x2?y2?2x? 于是所求曲面在xOy面上的投影区域D为x2?y2?2x? 由曲面方程得, ? 于是 . 3. 求底面半径相同的两个直交柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积. 解 设A1为曲面相应于区域D: x2+y2￡R2上的面积. 则所求表面积为A=4A1. ? 4. 设薄片所占的闭区域D如下, 求均匀薄片的质心: (1)D由, x=x0, y=0所围成; 解 令密度为??1? 因为区域D可表示为? 所以 ? ? ? 所求质心为 (2)D是半椭圆形闭区域; 解 令密度为??1? 因为闭区域D对称于y轴? 所以? (椭圆的面积)? ? 所求质心为? (3)D是介于两个圆r=acosq, r=bcosq(0ab)之间的闭区域. 解 令密度为??1? 由对称性可知? (两圆面积的差)? ? 所求质心是? 5. 设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y=x2及直线y=x所围成, 它在点(x, y)处的面密度m(x, y)=x2y, 求该薄片的质心. 解?? , ? 质心坐标为. 6. 设有一等腰直角三角形薄片, 腰长为a, 各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方, 求这薄片的质心. 解 建立坐标系? 使薄片在第一象限? 且直角边在坐标轴上? 薄片上点(x? y)处的函数为?=x2+y2? 由对称性可知? ? ? 薄片的质心坐标为. 7. 利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度r=1): (1)z2=x2+y2, z=1; 解 由对称性可知, 重心在z轴上, 故? (圆锥的体积)? ? 所求立体的质心为. (2), (Aa0), z=0; 解 由对称性可知, 重心在z轴上, 故? (两个半球体体积的差)? ? 所求立体的质心为? (3)z=x2+y2, x+y=a, x=0, y=0, z=0. 解 ? ? ? ? 所以立体的重心为? 8. 设球体占有闭区域?={(x, y, z)|x2+y2+z2￡2Rz}, 它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方, 试求这球体的质心. 解 球体密度为??x2?y2?z2? 由对称性可知质心在z轴上, 即? 在球面坐标下?可表示为? , 于是 ? ? 故球体的质心为. 9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下, 求指定的转动惯量: (1), 求Iy; 解 积分区域D可表示为 ? 于是 ? 提示? ? (2)D由抛物线与直线x=2所围成, 求Ix和Iy; 解 积分区域可表示为 ? 于是 ? ? (3)D为矩形闭区域{(x, y)|0￡x￡a, 0￡y￡b}, 求Ix和Iy. 解 ? ? 10. 已知均匀矩形板(面密度为常量m)的长和宽分别为b和h, 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量. 解 取形心为原点, 取两旋转轴为坐标轴, 建立坐标系. ? ? 11. 一均匀物体(密度r为常量)占有的闭区域W由曲面z=x2+y2和平面z=0, |x|=a, |y|=a所围成, (1)求物体的体积; 解 由对称可知 ? (2)求物体的质心; 解 由对称性知? ? (3)求物体关于z轴的转动惯量.