从古典几何到现代几何﹝5﹞.pptVIP

从古典几何到现代几何;几何原本 ;几何原本的主要结论 ;后人称颂毕达哥拉斯定理，说它是平面几何中最重要的定理。迄今为止，在任何有意义的几何空间中，都要求这条定理在无穷小的情形下成立。 三角形内角和为180?，本质上是说平面是平坦不具有弯曲的。Legendre首先指出它等价于下面所给出的命题：;内角和定理的等价命题;欧氏第五公设;第五公设证明的失败; 下面是一些尝试去用欧氏其它公理去证明第五公理的人： Ptolemy (168) Prolos (410-485) Nasir al din al Tusi (1300) Levi ben Gerson (1288-1344) Cataldi (1548-1626) Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679) Giordano Vitale (1633-1711) John Wallis (1616-1703) Gerolamo Saccheri (1667-1733) Johann Heinrich Lambert (1728-1777) Adrien Marie Legendre (1752- 1833); 最后，高斯、Bolyai和罗巴切夫斯基不约而同地发明了双曲几何──曲率为负常数的二维曲面。故老相传，高斯曾测量在Harz山脉中由Inselberg、Brocken和Hoher三地形成的三角形，看看其内角和是否等于180?。; 克莱茵（F. Klein）创造了一种解析的方法，通过赋与在单位圆盘上任意两点的某种距离，给出双曲几何的一个模型。后人称之为Klein模型。至此，人们终于证明了欧氏第五公理不可以由其它公理推导出来。 双曲几何给出第一个抽象而与欧氏不一样的空间，影响到黎曼的工作。;球面几何;球面几何;球面三角形效果图 ;双曲几何、非欧几何 ;内角和公式的解释;内角和公式的解释;非欧几何一度被视为“幽灵” ; 高斯发现三角形内角和减去180?后与曲率和三角形面积的乘积相等，高斯把这个性质推广成为一条有关曲率的积分方式。高斯-Bonnet公式 在现代几何和拓扑学中非常重要。陈省身先生将它推广到高维空间，而最后发展成陈氏类，这个发展为近代时空创造了宏观的看法。在近代的弦学中，时空的质子数目与陈氏类有关。; 要等到费马（1629）和笛卡儿（1637）引入坐标系统后，人们才能用代数的方式来表示运动轨迹。 笛卡儿（1596 - 1650）： 「我已铁定了心，扬弃抽象的几何学，它探讨的问题，除了能够锻炼头脑外，就没有什么用处。代而之我要研究那些以解释大自然现象为目标的几何。」 “I have resolved to quit only abstract geometry, that is to say, the consideration of questions which serve only to exercise the mind, and this, in order to study another kind of geometry, which has for its object the explanation of the phenomena of nature.”;解析几何;解析几何;解析几何的理论价值;解析几何的理论价值;解析几何的理论价值;解析几何的理论价值; 在笛卡儿的坐标系统中，直线是由线性函数定义的，而圆锥截面则由二次函数决定。利用这种代数的方式，刻卜勒的行星运动定律就变得一清二楚了。; 利用解析几何和微积分，牛顿及其它天文学家对天体的运动进行了巨细无遗的计算。天体的运动是透过欧氏空间的整体坐标系统来描述的，在那里空间是静止的，而时间则独立于空间之外。; 牛顿宣称他的时空是绝对的、静止的。它为宇宙提供一个刚性的、永恒不变的舞台。 「对内对外而言，绝对空间都是相似及不动的。」 “Absolute space, in its own nature and with regard to anything external, always remains similar and unmovable.” 牛顿利用一个旋转水桶的实验，来说明绝对空间的存在性，而惯性坐标便是在绝对空间中静止的坐标。;几何学的统一 ;克莱因;克莱因的Erlangen program ;克莱因几何学的新思想;克莱因的Erlangen program ;群 ;丰富的研究工具;微分几何学的起步;微分几何学 --- 曲线论 ;微分几何学--- 曲面论 ;Euler Monge Gauss ;高斯对经典微分几何学的贡献; 高斯把他的绝妙定理写入《曲