实用数值计算方法_7_方程求根.ppt

* * 计 算 方 法 授课老师：聂德明 nieinhz@cjlu.edu.cn 仰仪北楼606 计量测试工程学院 Numerical Method 方程求根 1 问题的提出 2 二分法 3 迭代法 4 牛顿法及割线法 预备知识 1. Taylor公式 拉格朗日余项： 2. 拉格朗日中值定理 预备知识 若f(x)在[a, b]上连续，且f(x)在(a, b)内可导，则存在 ξ∈[a, b]，使： 或 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则 f(x)在[a, b]上单调递增(递减)的充要条件是 3. 函数的单调性 预备知识 1 问题的提出 方程的一般形式：f(x)=0 ，满足方程的x值通常叫做方程的根或解，也叫函数f(x)的零点。 实际问题 代数方程5次以上的方程无求根公式 超越方程：包含超越函数，如 sinx, lnx, ex 近似求解 1 问题的提出 求根的隔离区间 ，即确定根所在区间 根的精确化。粗糙的近似值---满足精度的近似值 方程求根步骤： 1 问题的提出 求根的隔离区间 设函数f(x)在[a, b]内连续，严格单调，且有f(a)f(b)0，则在[a, b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。 函数y=f(x)与横轴(y=0)交点 f(x)=0 → f1(x)=f2(x)，函数f1(x)与f2(x)的交点 区间[a, b]内选择x1, x2, x3, x4 ……，根据f(x)在这些 点上值的符号确定 2 二分法 二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。 设函数f(x)在[a, b]内连续，严格单调，且有f(a)f(b)0，则在[a, b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。 2 二分法 误差估计 对于所给定的精度 ε，则可得 2 二分法 例3 用二分法求下列方程在区间[0, 1]内的实根，要求有3位有效数字。 3 迭代法 基本思想：逐次逼近 粗糙的初值 校正后的近似值 迭代公式 END 满足精度 不满足精度 3 迭代法 可得序列 {xk}: x0, x1, x2, x3, …… 如果当k→∞时，序列{xk}有极限x*，则x*是方程 f(x)=0的根。 → 迭代公式 序列有极限：迭代公式收敛 序列无极限：迭代公式发散 用迭代法求下列方程在区间[2, 4]的根。 3 迭代法 取x0 =4，则 收敛 3 迭代法 取x0 =4，则 发散 几何意义 3 迭代法 假设迭代函数 φ(x) 在[a, b]上具有一阶连续的导数，且满足 当 x?[a, b] 时，φ(x)?[a, b]； 存在正常数 L 1， 使得 |φ’(x) | ? L ; 则 方程在[a, b]上有唯一根 x* 对任意x0 ?[a, b]，迭代格式xk+1 = φ(xk)都收敛到 x* 定理1 定义1 ：局部收敛性 对于方程 x= φ(x)，若在 x* 的某个领域 S = {x | x ?[x* - δ, x* + δ]} 内，对任意初值x0?S，迭代格式xk+1 = φ(xk) 都收敛，则称该迭代格式在 x* 的附近是局部收敛的。 3 迭代法 定理3 设方程 x= φ(x)有根x*，且在 x* 的某个领域 S = {x | x ?[x* - δ, x* + δ]} 内存在一阶连续导数，则 当|φ’(x*) |1时，迭代格式xk+1 =φ(xk)局部收敛 当|φ’(x*) |1时，迭代格式xk+1 =φ(xk)发散 3 迭代法 迭代法的收敛速度（收敛阶） p=1，且0|c|1，称为线性收敛 p=2，称为平方收敛 假设迭代函数 φ(x)在[a, b]上具有一阶连续的导数，且满足 当 x?[a, b] 时， φ(x)?[a, b]； 存在正常数 L 1， 使得 | φ’(x) | ? L ; 则 方程在[a, b]上有唯一根 x* 对任意x0 ?[a, b]，迭代格式xk+1 = φ(xk)都收敛到x* 定理1 定理2.4 若 φ(x)在x*附近的某个领域内有p阶(p≥1)连续导数，且 φ(x*)= x*, φ’(x*)= 0,…… φ(p-1)(x*)= 0, φ(p)(x*) ≠0, 则对一个任意靠近x*的初始值x0，迭代公式xk+1 =φ(xk)是p阶收敛的，且有 3 迭代法 3 迭代法 迭代法的收敛速度（收敛阶） p=1，且0|c|1，称为线性收敛 p=2，称为平方收敛 假设迭代函