第4课时 函数的奇偶性和周期性.pptVIP

B项，令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错． C项，令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D项，令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错． 4．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的是(　　) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a)) 答案　B 解析　∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)． 即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图像上． 答案　3 (2)若函数y＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)的图像的对称中心为__________． 【解析】　∵f(x－2)为奇函数， ∴f(x－2)的图像的对称中心为(0,0)． 又∵f(x)的图像可由函数f(x－2)的图像向左平移两个单位而得， ∴f(x)的图像的对称中心为(－2,0)． 【答案】　(－2,0) 例3　f(x)是定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性． 【解析】　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． ∵f(x)图像关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)． ∴f(x＋4)＝f[2－(x＋4)]＝f[－(x＋2)]＝－f(x＋2) ＝－f[2－(2＋x)]＝－f(－x)＝－[－f(x)]＝f(x)． ∴T＝4. 【答案】　T＝4 题型三 函数的周期性 探究3　(1)证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义． (2)若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)为周期函数．若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数图像为轴对称图形． 思考题3 ∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5. 【答案】　2.5 (2)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且x∈[0,4]时，f(x)＝4－x，则f(2 015)的值为________． 【解析】　∵f(4)＝0，∴f(x＋8)＝f(x)，∴T＝8. ∴f(2 015)＝f(7)＝f(－1)＝f(1)＝3. 【答案】　3 例4　已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式． 【解析】　方法一：∵f(－1－x)＝f(1－x)， ∴f(x)＝f(2＋x)，∴f(x)为周期函数，T＝2. ∵f(x)为偶函数， ∴x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]． f(x)＝f(－x)＝x＋1. ∴x∈[5,6]时，x－6∈[－1,0]． f(x)＝f(x－6)＝(x－6)＋1＝x－5. x∈[6,7]时，x－6∈[0,1]． f(x)＝f(x－6)＝－(x－6)＋1＝－x＋7. 方法二：∵f(1－x)＝f(－1－x)， ∴T＝2.又∵f(x)是偶函数， ∴f(x)在R上的图像如图： 探究4　高考中对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解． 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)． 【解析】　(1)∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． 思考题4 (2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. ∴f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)f(