2014推理证明分类汇编.doc

数 学 M单元　推理与证明 M1　合情推理与演绎推理 16．，[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．　[解析] ()若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(iii)若③正确，则①②不正确a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．则100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．　[解析] 由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城[2014·陕西卷] 已知f(x)＝，x≥0，若(x)＝(x)，f＋1(x)＝f(f(x))，n∈N＋，则f(x)的表达式为________．.　[解析] 由题意，得f(x)＝f(x)＝，(x)＝＝，(x)＝，…，由此归纳推理可得f(x)＝、[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝x－＋1(x＞0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)记x为f(x)的从小到大的第i(i∈N)个零点，证明：对一切n∈N，有＋＋…＋＜解： (1)f′(x)＝－x－＝－x令f′(x)＝0，得x＝k(k∈N*)．当x∈(2k，(2k＋1))(k∈N)时，，此时(x)0; 当x∈((2k＋1)，(2k＋2))(k∈N)时， x0，此时f′(x)0.故f(x)的单调递减区间为(2k，(2k＋1))(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)，(2k＋2))(k∈N)．(2)由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递减．又＝0，故x＝当n∈N时，因为(nπ)f＝[(－1)＋1][(－1)＋1(n＋1)＋1]＜0，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(n，(n＋1))内至少存在一个零点．又f(x)在区间(n，(n＋1))上是单调的，故＜x＋1＜(n＋1)因此，当n＝1时，＝＜；当n＝2时，＋＜(4＋1)＜；当n≥3时，＋＋…＋ ＜＜＝＜＜综上所述，对一切n∈N，＋＋…＋＜、[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝(x0)，设f(x)为f－1(x)的导数，n∈N(1)求2f＋的值；(2)证明：对任意的n∈N，等式＝都成立．解： (1)由已知，得f(x)＝f′(x)＝＝－，于是f(x)＝f(x)＝－＝－－＋，所以f＝－，f＝＋故2f＋＝－1.(2)证明：由已知得，xf(x)＝，等式两边分别对x求导，得f(x)＋xf(x)＝，即f(x)＋xf(x)＝＝. 类似可得(x)＋xf(x)＝－in x＝(x＋)，(x)＋xf(x)＝－＝，(x)＋xf(x)＝＝(x＋2)．下面用数学归纳法证明等式nf－1(x)＋xf(x)＝对所有的n∈N都成立．(i)当n＝1时，由上可知等式成立．(ii)假设当n＝k时等式成立，即kf－1(x)＋(x)＝. 因为[kf－1(x)＋xf(x)]′＝kf－1(x)＋fk(x)＋xf(x)＝(k＋1)f(x)＋xf＋1(x)，′＝·′＝，所以(k＋1)f(x)＋xf＋1(x)＝，因此当n＝k＋1时，等式也成立．综合()(ii)可知，等式nf－1(x)＋xf(x)＝对所有的n∈N都成立．令x＝，可得nf－1＋＝(n∈N*)，所以＝ (n∈N)．[2014·湖南长郡中学月考] 记Sk＝1＋2＋3＋…＋n，当k＝1，2，3，…时，观察下列等式：S＝＋，S＝＋＋，S＝＋＋，S＝＋＋－，S＝＋＋＋An，…由此可以推测A＝____________－　[解析] 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以＋＋＋A＝1，解得A＝－[2014·日照一中月考] 二维空间中l＝2，二维测度(面积)＝，观察发现＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4，三维测度(体积)V＝，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8，猜想其四维测度W＝________.4　[解析] 因为W′＝8，所以W＝2[2014·甘肃天水一中期末] 观察下列等式：(1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝2；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝2照此规律，第n个等式为__________________________________