偏导及微分总复习.pptVIP

二阶导数 : * * * * * * * 1．极限与连续 2．偏导与微分 3．多元微分学的应用 第九章要点 1．极限与连续 2) 证明极限不存在：用两种不同的趋近方式得到两个不 3) 连续与间断 4) 有界闭区域上连续函数的性质 同的极限，则函数在该点的极限不存在 1) 求极限 2．偏导与微分 2) 高阶偏导 1) 偏导的定义 的二阶偏导 3) 复合函数的偏导 ⑴全导数 设函数 ， ， 为可微函数，则 ⑵复合求导 设函数 ， ， 为可微函数，则 4) 方向导数与梯度 二元函数的方向导数 三元函数的方向导数 其中 或 为单位向量． 梯度 注：梯度方向为方向导数取最大值的方向． 或者 (1)微分的定义 5) 全微分 全微分 并且 (2)可微的条件： 有连续偏导，则 可微， 偏导连续 可微 连续 可偏导 (3)关系 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 6)隐函数、隐函数组求导 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还可求隐函数的 两边对 x 求偏导 同样可得 则 有隐函数组 则 两边对 x 求导得 设方程组 在点P 的某邻域内 解的公式 故得 系数行列式 1) 近似计算 2) 几何应用 3．多元微分学的应用 几何应用 曲线?切线(法平面) 曲面?切平面(法线) 曲线：参数方程情形 切线： 法平面： 一般方程情形 切线： 法平面： 则曲线在该点的切线可以看作两曲面在该点切平面的交线： 一般方程 若 ， 曲面： 面上，则相应的切平面： 法线： 曲面方程： ，点 在该曲 3) 极值问题 必要性：可导的极值点是驻点． 充分性： 则 时， 极小值； 时， 极大值； 时不能确定； 时 非极值． (1) 无条件极值 (2) 条件极值 方法： 最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值． 构造Lagrange函数 单条件极值 求函数 在条件 下的 条件极值． 解方程组 方法： 解方程组 构造Lagrange函数 两条件极值 求函数 在条件 ， 下的条件极值． 最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值． 例1 求极限 ． 解 令 　 ，则 所以 不存在． 解 例2 设 ， 求 　　． 解 例3 设 ，其中 有连续偏导，求 ．