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§6.4 定积分的应用 定积分的元素法（微元法） 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 定积分的几何应用 一、平面图形的面积 例1. 计算两条抛物线 例2. 计算抛物线 例3. 求椭圆 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 例4. 求由摆线 2. 极坐标情形 例5. 计算阿基米德螺线 例6. 计算心形线 心形线(外摆线的一种) 例7. 计算心形线 例8. 求双纽线 二、平面曲线的弧长 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: (2) 曲线弧由参数方程给出: (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 例10. 求连续曲线段 例11. 计算摆线 例12. 求阿基米德螺线 三、已知平行截面面积函数的立体体积 特别 , 当考虑连续曲线段 例13. 计算由椭圆 方法2 利用椭圆参数方程 例14. 计算摆线 绕 y 轴旋转而成的体积为 注 说明: 例15. 设 例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 例17. 计算由曲面 例18. 求曲线 四、旋转体的侧面积 (补充) 注意: 例19. 计算圆 例20. 求由星形线 星形线 内容小结 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 思考与练习 2. 试用定积分求圆 方法2 用柱壳法 求侧面积 : 例题 2. 4. 定积分的物理应用 一、 变力沿直线所作的功 例1. 例2. 例3. 二、液体侧压力 例4. 说明: 三、 引力问题 例5. 说明: 四、转动惯量 (补充) 例6. 内容小结 思考与练习 2. 设星形线 同理 设有一长度为 l, 线密度为? 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段 对质点的引力大小为 故垂直分力元素为 在 试计算 利用对称性 棒对质点引力的水平分力 故棒对质点的引力大小为 棒对质点的引力的垂直分力为 2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处 1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 , 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 . 移到 b (a b) 处时克服引力作的功, 则有 引力大小为 注意正负号 3) 当质点位于棒的左端点垂线上时, 质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为 的质点系 若考虑物体的转动惯量 , 则需用积分解决 . 关于轴 l 的转动惯量为 ⑴ 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; ⑵ 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 . 解: ⑴ 建立坐标系如图. 设圆盘面密度为? . 小圆环质量 对应于 的小圆环对轴 l 的转动惯量为 故圆盘对轴 l 的转动惯量为 设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 , 平行 y 轴的细条 关于 y 轴的转动惯量元素为 细条质量: 故圆盘对y 轴的转动惯量为 ⑵ 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图. (1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ 一般微元的几何形状有: 扇、片、壳 等. (2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤: 2.定积分的物理应用: 变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等. 条、段、环、带、 (99考研) 提示: 作 x 轴如图. 1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口, 缆绳每 在提升过程中污泥 以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升到井口, 抓斗抓起的污泥重2000N , 提升速度为3m /s , 问 克服重力需作多少焦耳( J ) 功? 已知井深30 m , 抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由 抓起污 x 提升 dx 所作的功为 米重50N , 分部积分 (利用“偶倍奇零”) 柱壳体积 柱面面积 偶函数 奇函数 在 x≥0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 证: 利用柱壳法 则 故 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 垂直 x 轴的截面是椭圆 所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 的体积. 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (94 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 设平面光滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .