2011年高中考试数学文科考点专题复习46.pptVIP

●基础知识 一、空间角 空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角都可以看成是角的概念在空间的拓广，三种角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小．由于引入了空间向量，三种角的计算除以上方法外，还可考虑采用向量方法进行处理．;二、三种角的概念、取值范围及作法 (1)异面直线所成的角：在空间取一点O，过O点分别作两异面直线的 线所成的 叫做两条异面直线所成的角．其取值范围为(0， ]． 作法：平移法． (2)直线和平面所成的角：如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为 ；如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为 ；如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的 所成的 角，称之为直线和平面所成的角．因此，直线和平面所成角的取值范围是[0， ]． ;作法：几何法：引垂线，找垂足，连接垂足、斜足得射影． 温馨提示 利用几何法求线面角时，可过斜线上一点作已知平面的垂线．若垂足不好作出，则可借助垂面． (3)二面角的平面角：从一条直线出发的两个 组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角．其取值范围为[0，π]．; 作二面角的平面角的常用方法有： ①定义法：根据定义，以棱上任一点为端点， ，则形成二面角的平面角． ②三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P ，于是∠PBA(或其补角)是二面角的平面角．; ③垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别与两个面的交线，构成二面角的平面角． 常用面积的射影定理来求二面角，即S·cosθ＝S射，它的优点是不必作出二面角的平面角． ; 归纳拓展 (1)空间角的计算步骤：一找(作)，二证，三计算．(2)特别注意三种空间角的取值范围． ;●易错知识 一、找错平面角致误 1．如图是三个全等的矩形构成的空间图形，D为AC的中点，若AB1⊥BC1，求二面角D－BC1－C的大小．;错解：设BC1∩B1C＝O，连结DO，则OD∥AB1， 因为AB1⊥BC1， 所以OD⊥BC1.而OC是OD在平面B1BCC1内的射影， 所以OC⊥BC1， 故∠DOC为所求二面角的平面角． 所以B1BCC1为正方形．;分析：把OC当成OD在平面B1BCC1内的射影，从而找错了平面角．;正解：设BC1∩B1C＝O，连结OD. 因为AB1∥OD，AB1⊥BC1， 所以OD⊥BC1. 因为BB1⊥BC，BB1⊥AB，AB∩BC＝B， 所以B1B⊥平面ABC. 所以平面ABC⊥平面B1BCC1. 过D作DE⊥BC于E，则DE⊥平面B1BC1C. 连结OE，由三垂线定理的逆定理得OE⊥BC1. 所以∠DOE为二面角D－BC1－C的平面角．;设AB＝BC＝AC＝2a，取BC的中点F，连结AF、OF，故AF 易知OF⊥BC.在△BOE中， 所以∠DOE＝45°. 故二面角D－BC1－C的大小为45°. ; 二、考虑问题不全面导致错误 2．a、b是所成角为80°的异面直线，过空间一点P作直线l. (1)使l与a、b所成的角均为80°，这样的直线l一共有 条． (2)若l与a、b所成的角均为50°，这样的直线l一共有 条 ;●回归教材 1．(2009·湖北黄冈一模)设直线与平面所成角的大小范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面直线所成角的大小范围为集合R，则P、Q、R的关系为 (　　) A．R＝P?Q　　　　 B．R?P?Q C．P?R?Q D．R?P＝Q 解析：因为P＝[0， ]，Q＝[0，π]，R＝(0， ]，所以R?P?Q.故选B. 答案：B;2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BC1和B1D1所成的角为 (　　) A．30°　　　　 B．45° C．60°　　　　 D．90°; 解析：连接AD1、AB1， ∵AB綊A1B1綊C1D1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形， ∴AD1∥BC1，∴∠AD1B1就是BC1和B1D1所成的角或其补角． 在△AB1D1中，∵AD1＝B1D1＝AB1， ∴∠AD1B1＝60°，∴BC1和B1D1所成的角为60°. 答案：C;3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与截面BB1D1D所成的角是 (　　) A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．90° 解析：连结A1C1，交B1D1于O1，则B1D1⊥A1C1，