离散件11-群和环.pptVIP

群和环;② 设?是二元运算，它可以用谓词定义，也可以用运算表定义。在表达式中二元运算 ?： S 2?S使用中缀式表示（如x ? y）。 下面是用运算表定义运算的例子。 设S={a，b，c，d}，定义二元运 算“?”如下： ? a b c d a a c b d b b d c a c c a d b d d b a c ;3。二元运算的性质 设 * 是集合S上的二元运算， ① 封闭性： ? a、b ?S，a* b ?S。 ② 交换性： ? a、b ?S，a* b =b*a。 ③ 结合性： ? a、b 、c?S， (a* b)* c = a* (b* c) 。 ④ 幂等性： ? a ?S，a* a =a 。 设* 和 ? 是集合S上的二元运算， ⑤ 分配性： ? a、b 、c?S， a* ( b ? c) = (a* b) ? (a* c)， a ? ( b* c) = (a ? b) * (a ? c)， ⑥ 吸收性： ? a、b?S?? a* ( a ? b) = a， a ? ( a * b) = a 。 ;二、代数系统 1。定义：由非空集合S及定义在其上的若干运算 ?1、 ?2、...、 ?n构成的系统 ?S，?1、?2、...、?n ? 称为代数系统。 例：整数集合上 Z 的代数系统 ?Z，+?、?Z，?? 等，实数集合 R上的代数系统 ? R，+ ?、 ? R，+，??等，幂集合2A上的代数系统?2A，? ?、 ? 2A ，??等。; 主要考虑含一或两个二元运算的代数系统。 2。代数系统中的特殊元素 设? S，* ?是含一个二元运算的代数系统， ① e ?S，如果? a ?S，a* e =e * a = a，就称e是系统的幺元(或单位元) 。 ② ? ?S，如果?a ?S，a* ? = ? *a = ?，就称?是系统的零元。 ③ a?S，如果 a* a = a，就称 a 是系统中的幂等元。 例：在?Z，+?中，0是幺元也是幂等元，无零元；在?Z，??中1是幺元，0是零元； 在?2S，??中S是幺元， ?是零元； ?2S，??中?是幺元， S是零元。;定理： 如果代数系统 ? S，*? 中存在幺元，则幺元是唯一的；如果存在零元，则零元是唯一的。 证明：设 e1和 e2是代数系统 ? S，* ? 的两个幺元，根据幺元的定义， e1 = e1* e2 =e2。 同样，设 ?1 和 ?2 是代数系统 ? S，* ? 的两个零元，根据零元的定义， ?1 = ?1* ?2 = ?2。 注意，在同一个集合上定义不同的运算，一般具有不同的幺元和零元。例如，? Z，+ ?的幺元是0，没有零元。而? Z，? ? 有幺元1和零元0。 ; ④ 设代数系统? S，* ?存在幺元 e。a ?S，如果存在b ?S使 a* b = b* a = e，就称b是 a的逆元。 例：在?Z，+?中，a的逆元是-a；在?Z，??中只有1和-1有逆元； 在?2S，??中只有S有逆元。 定理： 设? S，* ?是可结合的、含有幺元 e的代数系统，如果元素 a存在逆元，则逆元是唯一的。 证明：设 b和 c是? S，* ?中元素 a的两个逆元，那么 b = b * e = b* (a* c) = (b * a) * c = e* c = c。 a 的逆元记为 a-1。 ;3。代数系统? S，* ? 的分层 ① 如果 ?S，*? 的运算满足封闭性，则称 ?S，*? 为广群； ② 如果 ?S，*? 为广群，且运算满足结合性，则称 ? S，*?为半群； ③ 如果 ?S，*?为半群，且运算含有幺元，则称 ?S，*?为含幺半群； ④ 如果 ?S，* ?为含幺半群，且每个元素都有逆元，则称?S，*?为群。;