6-1元素法6-2几何应用面积长度.pptVIP

机动 目录 上页 下页 返回 结束 §6.1 定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、定积分应用的元素法 第六章 定积分的应用 设曲边梯形是由连续曲线 两直线 所围成 . 则其面积 A = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 回顾:曲边梯形求面积的问题 及x轴以及 1) 分割. 区间 [a , b]同时将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形 且A= ∑ΔAi 2) 近似. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 面积表示为定积分的步骤如下: 3) 求和(求近似和). 4) 取极限. 取 3)部分量可近似表示为 一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 与变量x(或…)有关,且定义在区间[a , b] 上 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即总量等于部分量的和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可推广到无穷区间 第二步 求对应于[x,x+dx]上局部量△U 的近似值 微分表达式 第三步 以微元为被积表达式在U定义的 区间[a,b] 上积分 这种分析问题的方法称为元素法 (或微元法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 称元素或微元 (微元法) 二 、定积分应用的元素法 第一步 确定U 定义的区间[a,b] (注:选取不同的积分变量,U 所定义的区间可能不同) 不妨设,选x为积分变量 注: 但要求: 是△U的近似值， 是△U的线性主部 三、体积 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §6.2 定积分在几何学上的应用 第六章 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A , 一般地,曲线y=f1(x)、 y=f2(x)及 x=a,x=b (ab)围成图形(右下图) 面积为 例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算抛物线 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考:选x为积分变量 A=? + 曲线 与 围成平面图形的面积. 举一个例子: 曲线 与 围成…S. 解: 两曲线的交点为(-1,1)、(0，0)、(2，4) 所以 =… 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应  从 0 变 例5. 计算阿基米德螺线 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 到 2 所围图形面积 . 例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 心形线 目录 上页 下页 返回 结束 旋转面的面积 (补充) 设平面光滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积 . 取侧面积元素: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 例7: 设有曲线 过原点作其切线 , 求 由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一 周所得到的旋转体的表面积. 解: 过 点的切线为: 将(0,0)点代入得, 则切线方程为: 则表面积 1 x y o 2 二、平面曲线的弧长 当折线段的最大 边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 则称 光滑曲线的概念:P171 曲线表示为参数方程 且 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (P168) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (