2.2函数的单调性及最大[小]值.pptVIP

要点梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数f（x）的定义域为A,如果对于定义域A内某 个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2,当x1x2时, ①若__________,则f(x)在______上是单调增函数. ②若__________,则f(x)在______上是单调减函数.; (2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间I上是______或______,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,_____叫做 f(x)的单调区间. 2.函数的最值 (1)设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈A,都有_________. ②存在x0∈A,使得________. 则称M是f(x)的最大值. (2)设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈A,都有_________. ②存在x0∈A,使得_________. 则称M是f(x)的最小值. ;3.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断. (2)利用函数的运算性质: 如若f(x)、g(x)为增函数,则 ①f(x)+g(x)为增函数. ② 为减函数(f(x)＞0). ③ 为增函数(f(x)≥0). ④f(x)·g(x)为增函数(f(x)＞0,g(x)＞0). ⑤-f(x)为减函数.;(3)利用复合函数关系判断单调性. 法则是“________”，即两个简单函数的单调性相同, 则这两个函数的复合函数为______,若两个简单函数的 单调性相反,则这两个函数的复合函数为______. (4)图象法. (5)奇函数在两个对称的区间上具有____的单调性；偶 函数在两个对称的区间上具有____的单调性. (6)导数法 ①若f(x)在某个区间内可导,当f′(x)0时，f(x)为__函 数;当f′(x)0时,f(x)为__函数. ②若f(x)在某个区间内可导，当f(x)在该区间上递增时, 则f′(x)___0;当f(x)在该区间上递减时,则f′(x)___0.;基础自测 1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是_____. ①y=-x+1;②y= ③y=x2-4x+5;④ 解析 y=-x+1在R上递减； y= 在R+上递增; y=x2-4x+5在(-∞,2］上递减,在［2,+∞)上递增, 在R+上递减. ;2.(2010·镇江调研)若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在 区间(-∞,1]上是减函数,则a的取值范围是______. 解析 ∵f(x)是二次函数且开口向上, ∴要使f(x)在(-∞,1］上是单调递减函数, 则必有 ≥1,即a2-4a+3≤0, 解得1≤a≤3.;3.函数y=1- 的增区间为________________. 解析 函数图象如图所示. ;4.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上最大值为 3,最小值为2,则m的取值范围为______. 解析 ∵f(x)=(x-1)2+2,其对称轴为x=1, 当x=1时,f(x)min=2,故m≥1, 又∵f(0)=3,∴f(2)=3, ∴m≤2. 综上,1≤m≤2. ; 【例1】已知函数 证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. （1）用函数单调性的定义. （2）用导数法. 证明 方法一 任取x1,x2∈(-1,+∞), 不妨设x1x2,则x2-x10, ; 又∵x1+10,x2+10, 于是f(x2)-f(x1)= 故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数. ;方法二 求导数得 ∵a1,∴当x-1时，axln a0, f′(x)0在（-1，+∞）上恒成立， 则f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 方法三 ∵a1,∴y=ax为增函数, 又 在(-1,+∞)上也是增函数. ∴ 在(-1,+∞)上为增函数.;跟踪练习1 (2010·淮安模拟)证明:f(x)=x2-2x 在区 间(1,+∞)上是增函数. 证明 方法一 设x1,x2是区间(1,+∞)上的任意两 个值,且x1x2,则 =(x2-x1)(x2+x1)-2(x2-x1) =(x2-x1)(x2+x1-2). ∵x2x1, ∴x2-x10.;又∵x1、x2∈(1,+∞), ∴x2x11, 即有x1+x22,∴x1+x2-20. ∴f(