数学竞赛数列.不等式.函数应用.docVIP

课题 数列、不等式、函数应用 典型例题 一：基础知识 对于一元二次方程 （） 一元二次方程根的分布问题解决的方法； 代数法 利用函数（）的 图象与轴交点情况 例1：为何值时，方程的两根都大于2。 解法1 设方程的两根为，则 解法2 设 o 2 例2：已知关于的方程 的根满足 求实数的取值范围？ 解：设= 由题意 例3、已知二次方程：方程 设有两根为 （1）如果，设对称轴方程 求证 （2）如果并且 的两实根相差为2，求实数的取值范围？ 解：（1），且 （2） 同号， = 例4.已知 求证： 证明： 因为 所以 所以 例5、已知并且 求的最大值及取最大值时的值。 解： 当且仅当 取“=” 例6、二次方程其中是钝角三角形的三边，并且为最长边。（1）证明方程有两个不等的根 （2）证明两个根都是正数；（3）若试求的取值范围。 解：（1）因为最长 = （2）省略 （3） = =-4 已知数列中， （1）若求的取值范围 （2）是否存在正实数，使得 对任意恒成立。 解：（1） （2）由 猜想 不存在 证明：由 则 个等式相加 由恒成立，则也成立，既 对于恒成立 例6、设实数满足 ，其中。求 的最值 解： 又 当且仅当 取等号 练习 1。 证明 2.解关于的不等式 下表给出一个“三角形数阵” 已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等，第行第列的数为（ （Ⅰ）求（Ⅱ）用表示（Ⅲ）记第n行的和为，求数列的前 m项和的表达式 解1、 2、 3、 = + +=- = 已知函数定义在区间上， 且当时，恒有 又数列满足 证明是奇函数 （2）求的表达式 （3）是非存在，使得对于任意，都有成立，若不存在说明理由，若存在求出m 的最小值。 例9、已知数列满足首项为（1）若数列是一个无穷常数列，求（2）若，求满足不等式的n的集合。 已知函数对任意实数都满足，且 当时，求的表达式 设，求证 设，试比较 与6的大小。