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第四套试题 数学（一）试题（4-1） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。） （1）若，存在，则（ ）。 （A） （B）， （C）， （D）， （2）设在某领域内有二阶连续导数，且，，则（ ）。 （A），但是曲线的拐点 （B），且是的极小值 （C），且是曲线的拐点 （D），且是的极小值 （3）设函数，将展成周期的余弦函数，则为（ ）。 （A）0 （B） （C） （D）1 （4）设是条件极值问题的解，且。又设，分别是曲面和曲面在点的切平面，则（ ）。 （A）与互相垂直 （B）与重合 （C）与的法线的夹角是 （D）A，B ，C都不正确 （5）设有方程确定，则在点的两个偏导数和（ ）。 （A）分别等于0和 （B）分别等于0和 （C）都等于0 （D）都等于 （6）设为的外侧，则（ ）。 （A） （B） （C） （D） （7）设分别是矩阵和矩阵，存在矩阵使得这一条件是的（ ）条件。 （A）充分但不必要 （B）必要但不充分 （C）充分必要 （D）既不充分也不必要 （8）已知4元非齐次线性方程组 的通解为， 其中为任意常数，记，则以下选项中错误的是（ ）。 （A）能由线性表示 （B）能由线性表示 （C）能由线性表示 （D）能由线性表示 （9）设）且A与B二事件互斥，下列关系正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） （10）设总体二阶矩存在，是其简单的样本，样本均值为，则对期望估计是，（ ） （A）不是无偏，但它比更有效 （B）比更有效 （C）利用切贝雪夫定理，以概率收敛于0，因此是一致估计 （D）比更有效 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） （11）已知由方程确定，则________________ （12）曲面在任意一点处的法向量为________________，与平面相平行的切平面方程为_______________________。 （13）微分方程的一般解为____________________。 （14）设是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z＝4所围城的立体，则_____________________。 （15）设，若，则_____________其中是四阶单位矩阵。 （16）对某射手打靶考核，有两次命中6环以下（不含6环）时立即淘汰出局，如此射手每次命中6环及6环以上的开率是0.8，则他在第四次射击后被淘汰的开率是_____________________。 三、解答题（本题9小题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分10分）求级数的和。 （1）试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程； （2）求变换后的微分方程满足初始条件， 的解。 （18）（本小题满分11分）设在内有定义，且在处可导，数列满足条件：。试求。 （19）（本小题满分10分）贸公司的一个研发部门研发甲乙两类高科技产品，甲类产品可有x个品种选择，乙类产品可有y个产品选择，限于研发能力，甲乙两类产品的品种需满足，若每季度研发甲乙两类产品对公司的效益函数为 （百万元），问：该研发部门每季度应如何制定研发策略使其效益最大？该研发部门每个季度潜在最大风险（亏损最大）是什么？ （20）（本小题满分11分）设是正值连续函数， 为圆心在圆点的单位圆， 为的正向边界，证明： （1） （2） （21）（本小题满分11分） 设齐次线性方程组（） 其中。是讨论取何值是，该方程组只有零解； 取何值时，有非零解，并在???非零解时，求方程组的通解。 （22）（本小题满分11分） 设3元二次型。已知1是二次型矩阵A的一个特征值，（1）求；（2）求在条件下， 的最大值与最小值点。 （23）（本小题满分11分）设总体的分布函数为其中都是未知参数。设为简单样本。 （1）求和的极大似估计； 和。 （2）设已知，上述是否的无偏估计？说明理由。 （24）（本小题满分11分） 用两个独立的同类设备分别组成串联、并联及备用（即当一个接通的设备不能工作时系统立即自动接通另外一个备用设备）系统。如此类设备的寿命为参数是的指数分布，试求三个系统在时刻前失效的概率和三个系统的平均失效时间。