第3章_平面问题的有限元法.pptVIP

第3章 平面问题的有限元法;将连续体变换为离散化结构 将连续体划分为有限多个、有限大小的单元， 并使这些单元仅在节点处连结起来，构成所谓“离散化结构”。;离散化要注意:;2.对称性的利用 ;单元的形状和尺寸可以根据要求进行调整。对于重要或应力变化急剧的部位，单元应划分得小些；对于次要和应力变化缓慢的部位，单元可划分得大些；中间地带以大小逐渐变化的单元来过渡。;单元的划分原则 ;4.节点的编号;3.2 三角形常应变单元的位移模式和形函数;1.位移模式;平面问题每个节点位移分量有两个，所以整个单元有6个节点位移分量，即6个自由度。;三角形单元有6个自由度，内部任一点的位移是由6个节点 位移分量完全确定的，位移模式中应含有6个待定系数， 所以位移模式可取为：;在弹性体内，位移变化非常复杂。有限元法将整个弹性体分割成许多小单元，在每个单元内采用简单的函数来近似表达单元的真实位移，将各单元连接起来，便可近似表达整个弹性体的真实位移函数。;假设节点i，j，m的坐标分别为(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym);联立求解左边3个方程，得：;同理，求解右边的三个方程，得到a4，a5，a6，解得：;其中Ni，Nj，Nm是坐标的线性函数，反应了单元的位移形态，称为形（状）函数。;写成矩阵形式;3.三角形面积坐标;面积坐标的性质：;面积坐标与直角坐标的转换：;所以，位移模式也可以用面积坐标表示为：;例 题;1.单元应变;2.单元应力; 应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移是连续的。;?　 ? ? ?;单元节点力列阵：;单元虚应变：;单元刚度矩阵ke取决于单元的大小、方向和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。;例 题;理论力学中质点、质点系（刚体）的虚位移原理；;3.4 单元位移函数的选择原则;3. 位移模式应尽可能反映位移的连续性 ;常采用“帕斯卡三角形”来选取位移模式代数多项式的形式。;按照帕斯卡三角形选择位移模式的原则：;3节点三角形单元：;3.5 整体分析;整体刚度矩阵的组装：;2）分别写出各个单元的分块刚度矩阵：;组装一般规则：;整体刚度矩??的性质：;5）整体刚度矩阵是一个稀疏阵。;半带存储：利用带形矩阵的特点和矩阵的对称性，计算机中可以只存储上半带的元素。;3.6 等效节点载荷计算;;1.单元自重：;2.均布面力：;3.线性分布面力：;整体刚度矩阵的奇异性，可以通过引入边界约束条件来排除弹性体的刚体位移，以达到求解的目的。引用边界条件后，待求节点未知量的数目和方程的数目可相应的减少。;设已知u1=β1，u2=β3，则;2. 乘大数法;3.8 有限元分析的实例;4.计算各单元的刚度矩阵。由各单元的常数bi、bj、bm、ci、cj、cm及单元面积、弹性常数，计算各单元的刚度矩阵。;有限元分析实例;2）单元刚度矩阵的计算;4）处理载荷和位移边界条件，求解节点位移;5）应力计算;计算应力;作 业