探究递推公式为分式型数列的通项问题.doc

PAGE  PAGE 7 探究递推公式为分式型数列的通项问题 河南省焦作市第一中学分校（454000） 李国富 对于形如递推公式为（，）的数列，这类问题有一般性的公式解法，通常用特征方程求不动点，即先求解递推公式所对应的特征方程，求出不动点，然后再解。 虽然这类题本身有特征方程求不动点等的知识背景，但高考题并不考，也不依赖于这知识，从所给的标准答案来看，其立意在于将递推数列求通项问题转化为已知数列的已知知识来解决，即转化为等差数列或等比数列来解决。 那么，有没有不用高等数学知识，而只用高中数学知识的方法？这类问题是否存在通项公式？若存在又怎么来求？下面通过具体例子介绍一种方法，仅供参考! 例题 例题1：（2010年全国高考数学理科第22题） 已知数列中，， （Ⅰ）设，，求数列的通项公式； （Ⅱ）求使不等式＜＜成立的的取值???围. 分析： （Ⅰ）题目已经明确告诉学生要构造：的倒数，也就是说在，两边同时减2得：，再倒数即：，亦即，下一步再变形：，所以是首项为，公比为4的等比数列，进而可求出数列的通项公式。 （Ⅱ）略 例题2：（2008年全国高考数学陕西卷理科第22题） 已知数列的首项=，=，n=1，2, 3 （ⅰ）求的通项公式； ﹙ⅱ﹚证明：对任意的x＞0, ≥－, n=1，2，3 （ⅲ）证明：＞ 分析： （ⅰ）由=两边同时加上，得＋＝； 倒数得； 令，（目的使分母成“” 型）；得0，或－1，不妨取0，于是有＝＋，变形－1＝，又＝，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列。于是：有，得 ﹙ⅱ﹚略 例题3：（2007年全国高考数学理科试卷第22题）： 已知：数列中，2，，，2，3 （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若数列中2，，，2，3 证明：＜≤， ，2，3 分析： （Ⅰ）由题设可得 所以数列是首项为，公比为的等比数列 所以 , ，2，3 （Ⅱ）对于两边同时加 得：；即： 倒数： 即: （1） 可令：，目的是使分母变成“”型 则（1）式可化为 （2） 由方程 得±;不妨取 则（2）式可变为 即： 它是形如“”的式子；易求 所以：；显然，＞。 由(ⅰ)知： 所以 于是： ≥0 所以， ≤ 综上可知，＜≤，，2，3 探求： 对于型通项公式的方法可以推广到一般，结果总结如下： 对于两边同时加，得： 即： 倒数： 即： 所以： 即： 为了使上述等式左右成“”形式，可令 则： （*） 由方程，得： 方程有解的条件为：≥ 在此条件下可求出该方程解：，；不妨令 则（*）式可变为： 设， 则 （其中，） 对于上述数列是很容易求出它的通项公式的。 即可求出数列的通项。进而求出数列通项公式来。 以上方法尽管相对较麻烦些，但它用得知识点和方法都是高中数学内容所要求的。因为原数列既不是等差数列也不是等比数列，但我们在原数列上“加”上一个适当的数，再“倒”过来，就可以用我们所掌握的等差，等比知识来求了，所以不妨称之为“加倒法”。它是一种初等的方法。 练习： 1. （河北省定州市实验中学 张志兰）中学数学教学参考2009.1——2。 已知数列中，=3， ，， （ⅰ）若数列满足，证明：是等比数列； ﹙ⅱ﹚求数列的通项公式以及最大项，并说明理由； （ⅲ）求的值。 2．（广西师大附中 李天红）中学数学教学参考2009.1——2。 已知函数，设数列??足，，数列满足，记 （ⅰ）求数列的通项公式； ﹙ⅱ﹚求证：； （ⅲ）求证：＜ 3．已知各项均为正数的数列满足，且，求数列的通项公式。 4．已知数列中，，，求数列的通项公式。 5．已知数列满足，首项为，求数列的通项公式。 6．已知数列满足，首项为，求数列的通项公式。 答案 1．先求得数列的通项，进而求出数列的通项 2．（ⅰ）； 3．， 4．， 5．， 6．； 2010-5-16