近世代数课件_3.9极大理想.pptVIP

§9最大理想;9.1 定义及等价条件;最大理想有下面一些等价表述:; 例1 我们看整数环 。我们说，由一个素数 所生 成的主理想 是一个最大理想。因为：假定 是 理想，并且: 那么 一定包含一个不能被 整除的整数 。由于 是素数， 与 互素，所以我们可以找到整数s和t， 使得 但 也属于 ，而且 是理想，所以 ;9.2 基本结论; (2) 每一个非零元可逆. ,我们需要证明 可逆. . 构造一个理想 , 那么 (??) (??) 可逆. 是一个域.; 设 是一个域, 理想 满足: . 我 们需要证明 . 取一个 那么 , 可逆(??). 于是, 存在 使??? 证毕.;9.3 进一步的结论;证明 我们用 来表示R到 的自然同态满射。 ; 必要性. 假定 不是最大的理想, 那么存在 是R的理 想,并且： 那么, 在 这下的 的象 是 的理想。由于 ， , 也不会是 . 不然的话，对于R的任意元r， 可以找到 的元b，使得 由于 是理想，可以得到 ，与假定不合。; 引理 2 若R是有单位元的、可交换的非平凡环。如果R只有零理想同单位理想，那么R一定是一个域。