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近世代数课件_3.7理想
§7 理想;7.1 定义及例子;注1：理想一定是一个子环. 由（ⅰ），一个理想 是一个加群，由于（ⅱ）， 对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个子环。但（ⅱ）不仅要求 的两个元的乘积必须在 里，而且进一步要求， 在一个任意元同R的一个任意元的乘积都必须在 里,所以称为强闭合性。;我们举两个例。;7.2 理想的交与和;7.3 除环的理想;7.4 生成理想; [1] 是R的一个理想。因为：两个这种形式的元相减显然还是一个这种形式的元；用R的一个元r从左边去乘 一个元也得到一个这种形式的元，就是 用r从右边去乘的元 情形一样。 [2] 显然是包含 的最小的理想。; 以下用到最多的理想就是主理想。 一个主理想 的元的形式并不是永远象上面那样复杂。 [1] 当R是交换环时， 的元显然都可以写成 的形式 [2] 当R有单位元的时候， ???元都可以写成 的形式，因为这时， ; [3] 当R既是交换环又有单位元的时候， 的元的形 式特别简单，这时它们都可以写成 因此, 这时 也可以写出aR。;多个元素生成的理想; 例4 在Z中, (a,b) 可以简化为主理想. 我们举一个例;作成：换一句话说，2刚刚包含所有多项式 （1） 我们证明， 不是一个主理想。 假定 ，那么 ，因而 但 这样， 。但 都不是（1）的形式，这是一个矛盾。
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