二次函数和一元二次方程_辅导讲义.docVIP

讲 义 内 容 知识概括 知识点一： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：　　(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac0。　　(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，　　(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac0.　　(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。　　抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。 方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 题型一 求字母系数的取值范围 【例1】若二次函数的图象与x轴有两个交点，求k的取值范围； 练习1：已知：关于x的函数的图象与x轴总有交点，求的取值范围？ 练习2：已知抛物线（k为常数，且k＞0）．证明：此抛物线与x轴总有两个交点； 练习3：已知关于x的二次函数y＝x2－（2m－1）x＋m2＋3m＋4. 探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数. 题型二 一次函数图象和二次函数图象的交点问题 【例2】已知抛物线C经过（-5，0），（0，），（1，6）三点,直线的函数表达式为； 求抛物线的表达式； 证明抛物线C与直线无交点； 若与平行的直线与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标； 练习1：已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）． （1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式； （2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围． 题型三 关于二次函数图象交点的综合问题 【例3】已知抛物线（k为常数，且k＞0）． （1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点； （2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且，求k的值． 练习1：抛物线的部分图象如图所示，则方程的两根为 . 练习2：下列命题：①若，则； ②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； ③若，则一元二次方程有两个不相等的实数???； ④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（　　）． Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有② 【例4】已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（﹣3m，0）（m≠0）． （1）证明4c=3b2； （2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值． 练习：已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式； （3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．