2、椭圆性质、第2定义、参数方程.docVIP

学有方-大不同 学大教育 PAGE  PAGE 7 椭圆性质、第二定义、参数方程 一、由椭圆方程() 研究椭圆的性质. (1)范围: 从标准方程得出,,即有,，可知椭圆落在组成的矩形中． (2)对称性: 把方程中的换成方程不变，图象关于轴对称．换成方程不变，图象关于轴对称．把同时换成方程也不变，图象关于原点对称． 如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 因此椭圆共有四个顶点： ， 加两焦点共有六个特殊点. 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点. (4)离心率: 概念：椭圆焦距与长轴长之比，决定椭圆的圆扁程度 定义式： 范围： 考察椭圆形状与的关系： ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 讲解范例： 例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形． 解：把已知方程化成标准方程 所以，， 因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是， 将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标： 01234543.93.73.22.40 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆： 例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图： 　　　　（1）　　（2） 答：简图如下： 课堂练习： 1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为:两段，求其离心率 解：由题意，=:,即,解得 2．如图 ，求椭圆,()内接正方形ABCD的面积 解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等，故设B（),代入椭圆方程求得,即正方形ABCD面积为 椭圆的第二定义: 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率 2．椭圆的准线方程 对于，相对于左焦点对应着左准线； 相对于右焦点对应着右准线 对于，相对于下焦点对应着下准线； 相对于上焦点对应着上准线 准线的位置关系： 焦点到准线的距离（焦参数） 讲解范例： 例3、　求下列椭圆的准线方程：（1） (2) 解：⑴方程可化为 ，是焦点在轴上且，的椭圆 所以此椭圆的准线方程为 ⑵方程是焦点在轴上且，的椭圆 所以此椭圆的准线方程为 例4、 椭圆上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离 解：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点P到椭圆的左焦点距离为 再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 课堂练习： 1．求下列椭圆的焦点坐标与准线方程 （1）　　　　　（2） 答案：⑴焦点坐标；准线方程 ⑵焦点坐标；准线方程 2．已知椭圆的两条准线方程为，离心率为，求此椭圆的标准方程 答案： 椭圆的焦半径公式：设是椭圆的一点,和分别是点与点,的距离. 那么（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率 同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点） 注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加 讲解范例 例6、椭圆，其上一点P(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程 解：由椭圆的焦半径公式，得 ，解得，从而有 所求椭圆方程为 课堂练习： 1．P为椭圆上的点，且P与的连线互相垂直，求P 解：由题意，得＝64， P的坐标为，，， 2．椭圆上不同三点与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证 证明：由题意，得 ＝2 3．设P是以0为中心的椭圆上任意一点，为右焦点，求证：以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切 证明：设椭圆方程为,()， 焦半径是圆的直径， 则由知，两圆半径之差等于圆心距， 所以，以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切 问题：如图，以原点O为圆心，分别以 ()为半径作两个图，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作NA⊥OX垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M．求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程 解答：设A的坐标为，取 为参数，那么 也就是 这就是所求点A的轨迹的参数方程 将变形为 发现它可化为，说明A的轨迹