112次函数知识梳理.docVIP

二次函数的图像和性质 一、知识梳理 1.二次函数的定义：形如 的函数叫二次函数。 限制条件（1）自变量的最高次数是 ；（2）二次项系数 。 2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。 （1）一般式： ； （2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）， 此时二次函数的顶点坐标为（ ， ），对称轴是 。 注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。离开它用一般形式也可以。 （3）交点式（两点式）： 设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标， 则y=a（x-x1）（x-x2）此时抛物线的对称轴为直线x= 。 注意：（1）当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时， 函数表达式为 。这个交点是抛物线的什么点？ （2）是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？ 在什么条件下才有交点式？ （3）利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。 实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。 ▲三种二次函数的解析式的联系： 针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k= 当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。 3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条 线，它是一个 对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的 点。不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是 。 （1）形状----开口大小。由 决定， 越大，开口越 。 （2）开口方向：由 决定。当a0时，函数开口方向向 ；当a0时，函数开口方向向 ； （3）对称轴：直线x= ； 注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？ ▲（4）顶点坐标公式：（ ， ）； 利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。例如：y=2x2-4X+1 当X==-2时，y= ，顶点坐标为（ ， ） 可见，必须记住顶点横坐标公式。顶点纵坐标公式记不住也没有关系。 （5）增减性：分对称轴左右两侧描述。 当a0时，在对称轴左侧，即x 时，y随着x的增大而 ；在对称轴右侧，即x 时，y随着x的增大而 ；当a0时，在对称轴左侧，即x 时，y随着x的增大而 ；在对称轴右侧，即x 时，y随着x的增大而 ； ▲（6）最值：特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内 ①若顶点横坐标在自变量的取值范围内 当a0时，函数有最 值，并且当x= 时，y最小值= ；当a0时，函数有最 值，并且当x= ，y最大值= ；并且考虑在端点处是否取得最值。 ②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。 （7）与坐标轴的交点 ①与X轴的交点 求法：解方程 ，其求根公式是 。 个数：当Δ=b2-4ac 0时，抛物线与X轴有两个不同的交点； Δ=b2-4ac 0时，抛物线与X轴没有交点； Δ=b2-4ac 0时；抛物线与X轴只有一个交点， 即顶点在 轴上。 ②与y轴的交点：（ ， ） （8）函数值的正、负性：如图1：当 时，y＞0； 当 时，y0； 当 时，y=0。 如图2：当 时，y＞0； 当 时，y0； 当 时，y=0。 ※(9)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标为A（x1，0），B（x2，0），则二次函数图象与X轴的交点之间的距离AB== (10)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c及其代数式的符号判别： ①a的符号判别---由抛物线的开口方向确定：当开口向上时，a 0； 当开口向下时，a 0； ②c的符号判别