第八章 经济问题 - 北京师范大学精品课程网.ppt

数学应用实践;物流管理问题;最佳路径问题: 给定一个输运石油的线路网络，要将石油从s点输运到t点。现有4个中转站，已知有管道连接的两个中转站之间的距离。试求一条由s到t的输油线路，使总距离最短。;一 图论简介 ;简单图：无自回环，无重边的图。 无向图：边没有指向。 有向图：边有指向。 顶点的度数：与一个顶点关联的边的个数； 若是有向图，则分为顶点的出度和入度。;无向图 有向图;如果两顶点v1与v2之间有边相连，则称顶点vi1与顶点vi2邻接。 图G=(V,E)的邻接矩阵 A(G)=(aij)， aij =连接vi 与vj 的边数。 若G为无向图，则aij = aji 。;赋权图：对各个边赋予具有数值(权)的图。数值表示路程、资源消耗、花费时间、成本代价等等。 赋权图G=(V,E,w)的（费用）赋权矩阵定义为W(G)=(wij);赋权矩阵;路(链): 以一顶点开始, 并以一顶点结束的一个点与边交错的序列. 若图的任意两个顶点都有一条路连接, 则称为连通图. 当一条路的起点与终点重合时, 称为回路(圈).;没有回路的图称为无圈图。连通的无圈图称为“树” 图G=(V,E)的连通的无圈子图G’=(V’,E’) 称为G的树, 又若V’=V, 即G’是包含G的所有顶点的树，则称G‘为G的一棵生成树(支撑树). 定理：一个图是连通的当且仅当它有生成树。;树G(V,E)的性质：;二 最小生成树问题;Prim算法基本思想：;为保证每添加一条边都构成树，所选的边应该满足其一端在原来的子树顶点集V中，另一端在V的余集Vc中，即在边集(V,Vc)中选择，以避免圈的形成。 记与V中点相邻的点集为N(V)，则(V,Vc)=(V, Vc?N(V))。 ;为了在边集(V,Vc)中选到权最小的边： 先对每个顶点v?Vc?N(V)取权最小的边(v,u), u?V;引入顶点赋值label(v)=min{w(v,u);?u?V}，表示v点到集合V的距离。 ;再对所有v?Vc?N(V)取距离最小者， label(v*)=min{label(v); ? v?Vc?N(V)}。 将v*添入V，相应的边添入子树，就扩展了树。 引入变量f表示顶点v是否属于子树顶点集V，是则，f=1，否则 f=0。 ;Prim算法;16;6;Prim算法程序： 边权矩阵 L=[1 2 5;1 3 2;2 4 2;2 5 7;3 4 7;3 6 4;4 5 6; 4 6 2;5 6 1;5 7 3;6 7 6];;构造赋权矩阵a m=7;%顶点个数n=size(L,1); %边数 a=inf*ones(7); for i=1:n a(L(i,1),L(i,2))=L(i,3); a(L(i,2),L(i,1))=L(i,3); end for i=1:7 a(i,i)=0; end;第0步：初始化;for i=1:m-1%第i步选择 min=inf; for k=1:m if final(k)==0%只考虑待确定集中的点k for j=1:m if final(j)==1 a(k,j)=d(k) %只考虑与确定集相邻的点 d(k)=a(k,j); %替换点k到已确定集的距离 if d(k)=min min=d(k); %选择到初始点距离最短的顶点， p(i)=k; %第i步选入确定集的点 aa(k)=j;%点k与点j邻接边上权最小 ; end end end end end tree=[tree [aa(p(i)) p(i) a(aa(p(i)),p(i))]]; final(p(i))=true;%将选入确定集的点标记 end weight=sum(tree(3,:)); ;第0步：初始化;while le~=0 for i=1:le %考察待确定集中所有点 v=sb(i); if w(u,v)=label(v) label(v)=w(u,v); labsb(i