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实变函数论实变函数论实变函数论 第21讲 第五章 积分理论 习题课 132页4 1.证明：如果f ()xE 是 上的非负可测函数，∫=E fxdx() 0，则 fxaeE () = 0 .. 于 分析:只要证mE[0]0 f = ∞∞1 由于 下证对?nmE,0= E (|x f ()xEx= 0)∪∪ (|f ()xE ≥ ) = n n nn==11n 1 证：反证。若不然， 必存在nN∈ 使得mE= mE （ x|() f x ≥） 0 0 n0 n0 0()=∫EEf xdx 积分区域可加性 ∫f()() xdx +∫E? E f xdx nn00 mE n0 ≥∫E f ()xdx≥0 n0 矛盾， n0 所以对?=nmE,0,(n 从而mEx| f() x = 0)0 有于成立fx()= 0.. aeE 证毕 132页8 2. 设mE +∞,() f x ∈ L () E， enn = E [ f n ],则 lim n? me = 0 n→∞ 证：∵ fLE∈∴() mEf [|| =+∞= ] 0 ∞ 又 Ef[],=+∞ =∩ ennn e? e+11 , memE ≤ +∞ n=1 ∴=limmenn m lim e = mE ( x | f =+∞= ) 0 ? nn→∞ ε →∞ 而fLE∈?(), 由积分的绝对连续性，对 ε 0,?δδ 0,只要可测集eEme?, 就有 fxdx() ∫e + 由? 知，对此δ 0,?∈NZ ,当 nN , 有 men δ , 从而有nme? n ≤ fdx ε ∫e n 即 lim nme?=n 0 n →∞ 注 测度是个无穷小量，且比1/n高阶 en 3. 设{fn(x)}为E上非负可测函数列， 若 n dxxf = 0)(lim ，则 n ? 0于Ef n ∞→ ∫E 证明： σ ? ,0 有 σ n )( dxxf = n )( dxxf + n )( dxxf E σ fE ≥ ][ ∫∫∫ fE σ ][ n n