3-8第三章 三角函数解三角形.docVIP

课后课时作业 [A组·基础达标练] 1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 答案　D 解析　由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. 2.[2016·广州调研]如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于(　　) A.eq \f(\r(231),5) B.eq \f(5,16) C.eq \f(\r(231),16) D.eq \f(11,5) 答案　A 解析　由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π. 由余弦定理， 可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB， 即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)， 解得cosα＝eq \f(5,16)， 所以sinα＝eq \f(\r(231),16)， 所以tanα＝eq \f(sinα,cosα)＝eq \f(\r(231),5).故选A. 3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10eq \r(2)海里 B．10eq \r(3)海里 C．20eq \r(3)海里 D．20eq \r(2)海里 答案　A 解析　 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq \f(BC,sin30°)＝eq \f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq \r(2)(海里)． 4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 答案　A 解析　设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq \r(3)h，根据余弦定理得，(eq \r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m. 5．[2015·泰安期中] 如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　) A．50eq \r(3) m B．50eq \r(2) m C．25eq \r(2) m D.eq \f(25\r(2),2) m 答案　B 解析　由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(AC,sinB)，又∵B＝30°， ∴AB＝eq \f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq \r(2)(m)． 6. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　) A．8 km/h B．6eq \r(2) km/h C．2eq \r(34) km/h D．10 km/h 答案　B 解析　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sinθ＝eq \f(0.6,1)＝eq \f(3,5)，从而cosθ＝eq \f(4,5)，所以由余弦定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq \f(1,10)×2×1×eq \f(4,5)，解得v＝6eq \r