2011年湖南省高中数学竞赛试卷B卷及答案(高一版).docVIP

高中数学竞赛试卷（B） PAGE4（共NUMPAGES4页） 2011年湖南省高中数学竞赛试卷B卷及答案 选择题（本大题共10小题，每小题6分，满分60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、 （ C ） A、是偶函数 B、不是奇函数也不是偶函数 C、是奇函数 D、可能是奇函数也可能是偶函数 2、假设x、y都是正数并且成反比，若x增加了a% ，则y减少了 ( D ) 3、若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是 ( C ) 4、函数 （ B ） A、 4 B、 3 C、 2 D、 1 5、已知 （ B ） 6、若集合M={1，3，a},N={a2,1}且M∪N={1，3，a}，那么满足条件的a的值为 ( D ) 7、若 ( D ) 8、当 （ A ） 9、设f（x）是 ( C ) 10、如果（ B ） 得分评卷人填空题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分，请将正确答案填在横线上） 11、已知则满足条件的直线的条数是 6 12、若p是质数，且方程的两个实根均为整数，则p的值为 37 13、 [-1,5] 14、已知 解答题（本大题共5小题，每小题66分，解答要求有必要的过程） 得分评卷人（本小题满分12分） 对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w,若① ② 试求的值。 解：，则，，， 则 因为，所以，故。 又，，所以，(a、b、c∈N+)。 ，故，a=2,b=3,c=5。 得分评卷人（本小题满分12分） 略 得分评卷人（本小题满分14分） 一个直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程，试求m的值及此直角三角形的三边长。 解： 根据韦达定理，得且是整数，所以m是正整数。 又，根据二次方程根的判别式， 判别式是整数， 设（n是正整数，[负数与正数效果是一样的]） 则有：， 所以 ( 又因为m-6+n、m-6-n奇偶性相同，且m-6+nm-6-n 所以或，所以或 所以或所以或 所以斜边长=13，m=15或,斜边长=10，m=12 答：三边长为5，12，13，m=15或三边长为6，8，10，m=12. 得分评卷人（本小题满分14分） 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延 长线交于点F，如果DE=CE，，D是EF的中点，求AB的值。 解：分别过C、D向AB作垂线，设垂足分别为M、N为方便计算，可设CE=x，AE=y 由△CEM∽△FEA可得：AM=AE+EM=y+(2/3)y=(5/3)y AD为RT△AEF的中线，所以AD=DE=(3/4)x，AN=(1/2)AE=(1/2)y 由射影定理： AC2=AM*AB 即(5/3)y*AB=320 . = 1 \* GB3 ① AD2=AN*AB 即(1/2)y*AB=(9/16)x2 = 2 \* GB3 ② 以上两个方程，3个未知数，还需补充1个： CM2=CE2-EM2=x2-(4/9)y2 CM2=AC2-AM2=320-(25/9)y2 联立以上二式得：x2+(7/3)y2=320 = 3 \* GB3 ③ 解1、2、3式组成的方程组得：AB=24 得分评卷人（本小题满分14分） 已知二次函数的图象经过两点， ⑴如果都是整数，且，求、、。 ⑵设二次函数的图象经与轴的交点为,与轴的交点为C,如果关于的方程的两个根都是整数，求的面积。 解：点P（1，a）、Q（2，10a）在二次函数y=x2+bx-c的图象上， 故1+b-c=a，4+2a-c=10a， 解得b=9a-3，c=8a-2； （1）由c＜b＜8a知 8a-2＜9a-3 9a-3＜8a ， 解得1＜a＜3， 又a为整数，所以a=2，b=9a-3=15，c=8a-2=14； （2）设m，n是方程的两个整数根，且m≤n． 由根与系数的关系可得m+n=-b=3-9a，mn=-c=2-8a， 消去a，得9mn-8（m+n）=-6， 两