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2006年考研数学二真题 填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） 曲线y=x+4sinx5x-2cosx的水平渐近线方程为_________。 【答案】y=15。 【解析】limx→∞x+4sinx5x-2cosx=limx→∞1+4sinxx5-2cosxx=15 故曲线的水平渐近线方程为y=15。 综上所述，本题正确答案是y=15 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 设函数fx=1x30xsint2dt,x≠0,a,x=0在x=0处连续，则a=_________。 【答案】13。 【解析】a=limx→01x30xsint2dt=limx→0sinx23x2=13. 综上所述，本题正确答案是13 【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性 反常积分0+∞xdx(1+x2)2=_________。 【答案】12。 【解析】 0+∞xdx(1+x2)2=limb→+∞0bxdx(1+x2)2=limb→+∞120bd1+x21+x22=12limb→+∞(-11+x2)0b=12limb→+∞1-11+b2=12 综上所述，本题正确答案是12 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 微分方程y=y(1-x)x的通解为__________。 【答案】y=Cxe-x，C为任意常数。 【解析】dyy=1-xxdx lny=lnx-lnex+lnC 即y=Cxe-x，C为任意常数 综上所述，本题正确答案是y=Cxe-x。 【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程 设函数y=y(x)由方程y=1-xey确定，则dydxx=0=__________。 【答案】-e。 【解析】等式两边对x求导得y=-ey-xeyy 将x=0代入方程y=1-xey可得y=1。 将x=0,y=1代入y=-ey-xeyy，得dydxx=0=-e. 综上所述，本题正确答案是-e。 【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 设矩阵A=21-12，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B=___________。 【答案】2。 【解析】 BA=B+2E BA-E=2E B(A-E)=2E BA-E=22=4 因为A-E=11-11=2，所以B=2。 综上所述，本题正确答案是2。 【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理 填空题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） 设函数y=f(x)具有二阶导数，且fx0,fx0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x0，则 (A)0dy?y (B)0?ydy (C)?ydy0 (C)dy?y0 【答案】A。 【解??】 【方法一】由函数y=f(x)单调上升且凹，根据?y和dy的几何意义，得如下所示的图 由图可得0dy?y 【方法二】 由凹曲线的性质，得fx0+?xfx0+fx0?x,?x≠0，于是fx0+?x-fx0fx0?x0,?x0，即0dy?y 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义 设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则0xf(t)dt是 (A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数 (C)在x=0间断的奇函数 (D)在x=0间断的偶函数 【答案】B。 【解析】显然f(x)在任何有限区间[a,b]上都可积，于是Fx=0xf(t)dt连续，又因f(x)是奇函数，则Fx=0xf(t)dt是偶函数。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数 设函数g(x)可微，hx=e1+gx,h1=1,g1=2，则g(1)等于 (A)ln3-1 (B)-ln3-1 (C)-ln2-1 (D)ln2-1 【答案】C。 【解析】hx=e1+g(x)?g(x). 由h1=1,g1=2， 得g1=lnh(1)g(1)-1=ln12-1=-ln2-1 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是 (A)y-y-2y=3xex (B)y-y-2y=3ex (C)y+y-2y=3xe