《高中数学》选修22.pptVIP

《高中数学》 选修2-2;2.2.2《直接证明与间接证明-反证法》;教学目标;;;课前自主学案;1．间接证明 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种_______________的方法通常称为间接证明． ___________就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有 _________、__________等．;2．反证法 (1)反证法证明过程 反证法证明时，要从____________开始，经过 ___________导致______________，从而达到 ____________ (即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下面的框图表示： ;(2)反证法证明命题“若p则q”的步骤 ①_________——假设______________不成立，即假定原结论的反面为真； ②归谬——从________和__________出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； ③存真——由____________，断定反设不真，从而肯定原结论成立．;1．反证法解题的实质是什么？ 提示：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确． 2．用反证法证明命题“若p则q”时，为什么綈q假q就真？ 提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q的反面綈q错误时，q就一定正确．;思考？;; 反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。;反证法的基本步骤： （1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-------立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 ------论正确;应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题； ;例1：用反证法证明： 如果ab0，那么;例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。;P; 例4 求证： 是无理数。;;;课堂互动讲练; 如图，设SA，SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．;【思路点拨】　结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”，再导出矛盾，从而肯定“不垂直”． 【证明】　假设AC⊥平面SOB， 因为直线SO在平面SOB内， 所以AC⊥SO. 又SO⊥底面， 所以SO⊥AB. 所以SO⊥平面SAB.;故平面SAB∥底面． 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 即AC与平面SOB不垂直． 【名师点评】　通过否定给出命题，将原来的否定性命题转化为肯定命题，再加以利用，找出矛盾．;;用反证法证明惟一性命题;【思路点拨】　属于惟一性命题，用反证法证明比较简单． 【证明】　假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点． 若直线a，b无交点， 则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾． 若直线a，b不只有一个交点， 则至少有两个交点A和B， 这样同时经过点A，B就有两条直线， 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾． 综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．;【名师点评】　注意本题反设中不能漏掉“无交点”这种情况． 变式训练2　求证：方程5x＝12的解是惟一的．;由假设，得x2－x1≠0， 从而，当x2－x10时，有5x2－x11；② 当x2－x10时，有5x2－x11.③ 显然，②③都与①矛盾，这说明假设不成立． 所以原方程的解是惟一的．;当一个命题的结论以“最多”、“最少”等形式出现时，宜用反证法． (本题满分14分)已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．;【规范解答】　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.3分 由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.6分;同向不等式求和得：4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0 ∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，10分 ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0， ∴a＝b＝c.12分 这与题设a，b，c互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证.14分 ;【名师点评】　注意“至少有一个”、“至多有一个”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”．;;1．用反证法证明问题时要注意以下