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第五章 同态信号处理;第五章 同态信号处理; 成立。则 叫做对于代数运算 和 ，A到 的同态满射。 并称：对于代数运算 和 ，A与 同态。 同态系统（同态滤波器） 如果系统输入与输出看成矢量空间中的矢量， 运算规则 和 看成矢量加法； 和 看成标量与矢量乘法。 那么从输入矢量空间到输出矢量空间的一种线性变换，遵从 广义叠加原理的系统称为同态系统或同态滤波器。;5.1 广义叠加原理; 成立，则称该系统满足广义叠加原理，称为广义线性系统或称为同态系统。 本章只讨论输入运算和输出运算相同的同态系统。 如： 乘法同态系统——输入、输出运算都为乘积。 卷积同态系统——输入、输出运算都为卷积。 2.同态系统的规范形式 任何同态系统可表示为由三个子系统级联的规范形式：; 遵从广义叠加原理，把输入矢量的广义相加运算转换为一般的(输出) 加法运算。 把输入广义相乘转换为一般的(输出)乘法运算。 —— 也是一个同态系统。 ——为一般的线性系统，遵从线性叠加原理。 把相加转换为输出矢量加 ，为 的逆运算。 为运算 的特征系统 为运算 的特征系统 为运算 的特征系统的逆系统 输入和输出运算相同的一切同态系统彼此间差异仅在于线性部分，这个结论极为重要。这意味着特征系统一旦确定，余下的问题就是归结为设计一个不同的线性系统L[ ];5.2 乘法同态系统; 乘法运算 指数运算 则乘法同态系统的规范形式为： 适配这种相乘的特征系统 应具有以下特征 1.特征系统 显然，具有上述运算特性的函数运算是对数运算; 逆特征系统是 的逆。 与之匹配的运算当然是指数运算。 所以具体的实现是：;一般情况下， 为复信号，复对数和复指数运算，存在着多 值性和解析性的问题。 在图象增强的应用中，图象的信号可模型化为照度图和反射 图的积。图象的形成是光源的照度图，乘以物体的反射图产 生了图象的亮度图。 用 ——照度图 ——反射图 照度分??和图象都表示光的能量，所以有： 反射分量 为了增强对比度和压缩动态范围，现采用同态滤波器。 为了增强对比度，应加大反射分量。 为了压缩动态范围应减少照度分量。 ; 同态图象处理系统规范形式 乘法特征系统 将相乘变为相加 由于照度是低频信号，通常不会迅速变化，而反射是高频信号，所以线性系统 具有如图频率特性;逆特征系统是一个指数系统 这就达到了加强对比度和减少动态范围的目的。;5.3 卷积同态系统;1.卷积同态系统 将卷积 加法运算 这一功能由三步工作，用下图来完成，即卷积特征系统为： 卷积特征系统的表示 Z变换将卷积变成乘积。 ;再复对数将两个Z变换的乘积转变为相加 第三步用逆Z变换将Z变换的复对数转换成时间序列 式中 叫做复倒谱。 因此，卷积特征系统 的作用是将卷积运算组合信号转换成它们的复倒谱之和， 的复倒谱用 表示。 2. 线性系统： 应根据不同领域的不同要求和复倒谱 和 的 ;特点来设计。或者是加强一个削弱一个，或是提取一个而滤掉另一个。总之是要对 进行线性滤波。 式中， 和 分别是 和 线性滤波后得到的输出，卷积特征系统的逆系统 的作用是将加法组合信号变换成卷积运算组合信号即： 这种功能实现如图 ;第一步：Z变换 卷积逆特征系统 第二步：复指数 第三步：对上式乘积次求逆Z变换得到两个时间函数的卷积。（时域 频域） ;应用实例： 1.语言信号分析 2.解混响 在混响环境中录制声音时，除有用信号外，还有若干回波信号 时反射函数， 是回波相对于有用信号的时延。可表示为 式中;当只有一个回波信号时： 用卷积同态滤波器，去掉回波提取 1.将上式代入前式，然后两边求Z变换得 2.上式两边取对数得： 3.上式两边求逆