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25 线性时不变系统可控性和可观测性的几何判别准则
§2-5 线性时不变系统
可控性和可观测性的几何判别准则 ; 本节中研究的 n 维线性时不变动态方程为;不难验证，所有在t0时刻可控状态的全体组成一个线性空间。事实上，若x1、x2是系统的可控状态，则;对于线性时不变系统（2－31），它的可控状态不依赖于某个特定时刻，因此可控子空间也就不依赖于某个特定时刻。;空间A? B
下面讨论线性时不变系统（2－31）的可控子空间结构。;此外，根据列空间的定义，有;;;p个元素;;引理1;因而若证明了;;对上式两边求导数，有;;证完。;引理2 A? B 是可控子空间。即在这个子空间中的每一状态都是可控状态，凡是可控状态均在这个子空间中。 ;;证完。;定理2－15 线性时不变系统（2－31）可控的充分必要条件是;例2－16 考虑动态方程; 因此，它的可控子空间是由向量b=[1 1]T所张成的一维子空间。不可控子空间由向量[?1 1]T???张成。这两个子空间的正交和构成了二维状态空间。状态空间中的任一状态向量可对这两个子空间进行分解，而且分解是唯一的。参看图2－3。分解的两个分量分别为;二、不可观测状态与不可观测子空间 ; 对于线性时不变系统，它的不可观测状态不依赖于某一特定的时刻。
如果某个状态在时刻 t0 不可观测，那么它在任意时刻也都不可观测。因此不可观测子空间也就不依赖于特定的时刻了。;2. 线性时不变系统不可观测子空间的结构;引理3： ? 是线性时不变系统（2－31）的不可观测子空间，即 ? 中的状态是（2－31）的不可观测状态，而（2－31）的不可观测状态均在 ? 中。 ;定理2－16 线性时不变系统（2－31）可观测的充分必要条件是;为向量[?1 1]T所张成的子空间，可观测子空间;显然，状态x0可分解成两个状态：;;几何判别准则小结;2. 不可观测子空间 ? :
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