第一章集合、映射与运算.pptVIP

离散数学Discrete Mathematics;离散数学是计算机各专业的专业基础课. 离散数学研究的对象: 离散量及其之间的关系. 离散量与连续量及其之间的转换. 现今计算机的处理对象是非常特殊的离散量: 0和1. 学习离散数学的目的: 1.培养各种能力. 2.为后继专业课程的学习作知识上的准备. ;离散数学的基本内容: 1.集合与关系 Chapter 1 集合、映射与运算 Chapter 2 关系 2.数理逻辑 Chapter 3 命题逻辑 Chapter 4 谓词逻辑 3.代数结构 Chapter 5 群、环和域 Chapter 6 格与布尔代数 4.图论 Chapter 7 图论 Chapter 8 几类特殊的图;学习离散数学的方法: 1.预习. 2.听课. 3.复习. 4.作业. 参考文献: 耿素云 屈婉玲,离散数学(修订版),高等教育出版社,2004. Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications (Fourth Edition), McGraw-Hill Companies, Inc.1998.(有中译本,2002);Chapter 1 Sets, Mappings and Operations;1.1 集合的有关概念;常见的数的集合用黑正体字母表示: N是自然数集合,包括数0；Z是整数集合；Q是有理数集合；R是实数集合；C是复数集合. 表示集合的常用方法: (1)列举法:{0, 2, 4, 6, 8}, N = {0, 1, 2, 3, …}. (2)描述法:{x|x满足的条件}. (3)递归法 自然数集合N可递归定义, 在后面章节定义命题公式及谓词公式时还会用此法. 有限集合A的元素个数|A|.;Remarks 1.集合中的元素可以是集合, 例如A = {a, {a, b}, b, c}. {a, b}?A, {a, b}?A. 2.集合之间的元素原则上是没有次序的, 如 A = {a, {a, b}, b, c}就是 {a, b, c , {a, b}}; 3.集合中的元素原则上不重复, 如{a, {a, b}, b, b, c}还是集合A. 不含有任意元素的集合称为空集(empty set), 记为?或{ }. ;2.子集 A ? B, 特别地?是任意集合的子集. A = B. Theorem 1-2(P3) (1) A ? A. (2) A ? B, B ? A ? A = B. (3) A ? B, B ? C ? A ? C. Theorem 1-3 A = B ? A ? B 且 B ? A.;注意 ?与 ? 的不同. 例1-2 由A ? B, B? C可否得出A ? C? Solution 不成立,例如A = {a, b}, B = {a, b, c}, C = {a, {a, b, c}}. 课堂练习: 4, 5. 3. 幂集(power set) X = {a, b} ? P(X) = {?, {a}, {b}, {a, b}}. P(P(?)) = P({?}) = {?, {?}}(P5, 6(1)). ?, {?}, {{?}}(P5, 2);Theorem 1-4 Proof 由乘法原理证明?;4.n元组 Def 1-4 将n个元素(?)x1, x2,…, xn按一定顺序排列就得到一个n元(有序)??(n-tuple). 在数据结构中就是一个线性表. ; n = 2: (x, y). n = 3: (x, y, z) 4元组? 显然, 一般说来(x, y) ? (y, x). 注意区别(a, b, c), ((a, b), c), (a, (b, c))的不同.;n维向量是n元组, 长度为n的线性表是n元组, 抽象数据结构Data_Structure = (D, S) 本身是一个2 元组. 2元组常称为有序对(ordered pair)或序偶. 5.笛卡儿积(cross product) ;例1-4(P4) 设A = {a, b}, B = {1, 2}, C = {?}, 求A?B, B?A, B?C, A?B?C. Solution B?C = {(1, ?), (2, ?)} A?B ?C = {(a, 1, ?), (b, 1, ?), (a, 2, ?), (b, 2, ?)}.;Remark ? ? A = A ? ? = ?. P5, 10? Theorem Hint 可推广到更多个集合的笛卡儿积的情形: 作业 习题1.1 6, 9,